é percorrido por uma corrente i. Determine uma expressão para o campo magnético B, dentro e fora do fio, considerando que (a) a corrente está distribuída uniformemente sobre a superfície externa do fio, (b) a corrente está distribuída por todo o volume do fio com densidade de corrente J constante, © a corrente está distribuída por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente J é proporcional à distância até o eixo do fio.

Passo 1

Beleza, vamos escolher esse exercício que fala sobre como a corrente elétrica distribuída em um fio cria um campo magnético ao redor dele. A gente vai usar os conceitos de Lei de Ampère e densidade de corrente para determinar a expressão do campo magnético tanto dentro quanto fora do fio, considerando três tipos de distribuição de corrente diferentes.

Passo 2

Caso (a): Corrente distribuída uniformemente na superfície externa do fio
Primeiro, imaginamos que toda a corrente oint B cdot dl = 0 implies B = 0 está passando somente pela superfície externa do fio. Para achar o campo magnético, usamos a Lei de Ampère, que diz que a integral de oint B cdot dl = mu0 i implies B cdot 2pi r = mu0 i implies B = mu0 i2pi r ao longo de um caminho fechado é igual a vezes a corrente total atravessando esse caminho.
Dentro do fio ( ), como a corrente está somente na superfície, não tem corrente passando pelo caminho que está dentro do fio. Então, pelo Ampère:
Fora do fio ( ), toda a corrente está atravessando o caminho de Ampère:

Passo 3

Caso (b): Corrente distribuída uniformemente por todo o volume do fio com densidade de corrente constante J = ipi R^2
Aqui, a corrente está distribuída igualmente em todo o volume do fio. A densidade de corrente identro = J cdot pi r^2 = ipi R^2 cdot pi r^2 = i (rR)^2 é constante e dada por:
B cdot 2pi r = mu0 i (rR)^2 implies B = mu0 i r2pi R^2
Dentro do fio ( B = mu0 i2pi r ), a corrente que atravessa o caminho de Ampère é proporcional à área:
Aplicando a Lei de Ampère:
Fora do fio ( ), a corrente total é , então:

Passo 4

Caso ©: Corrente distribuída com densidade de corrente J(r) = k r proporcional à distância até o eixo do fio
Agora, a densidade de corrente aumenta com a distância i = integral0^R J(r) cdot 2pi r dr = 2pi k integral0^R r^2 dr = 2pi k [R^33] implies k = 3i2pi R^3 do centro do fio. Podemos escrever:
identro = integral0^r J(r') 2pi r' dr' = 2pi cdot 3i2pi R^3 integral0^r r'^2 dr' = 3iR^3 cdot r^33 = i (rR)^3
Para encontrar B cdot 2pi r = mu0 i (rR)^3 implies B = mu0 i r^22pi R^3 , usamos a condição de que a corrente total seja B = mu0 i2pi r :
Dentro do fio ( ), a corrente que atravessa o caminho de Ampère é:
Aplicando a Lei de Ampère:
Fora do fio ( ), toda a corrente está atravessando o caminho de Ampère:

Resposta

As expressões para o campo magnético B = 0 & se r < R mu0 i2pi r phi & se r >= R são:
a) Superfície externa:
B = mu0 i r2pi R^2 phi & se r < R mu0 i2pi r phi & se r >= R
b) Densidade de corrente constante:
B = mu0 i r^22pi R^3 phi & se r < R mu0 i2pi r phi & se r >= R
c) Densidade de corrente proporcional a :

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