Numa fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem, respectivamente, 20%, 30% e 50 % do total. De sua produção, 6%, 8% e 7 % são defeituosos, respectivamente. Um parafuso é retirado ao acaso da produção e verifica-se que está defeituoso. Qual a probabilidade que ele tenha sido manufaturado pelas máquinas A, B e C , respectivamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma fábrica de parafusos com três máquinas diferentes: A, B e C. Cada máquina produz uma certa porcentagem do total de parafusos e, dessas produções, uma porcentagem específica são defeituosas. A gente precisa descobrir qual a probabilidade de um parafuso defeituoso ter sido produzido por cada uma dessas máquinas. Para resolver isso, vamos usar probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Máquina A produz 20% dos parafusos, e 6% deles são defeituosos.
  • Máquina B produz 30% dos parafusos, e 8% deles são defeituosos.
  • Máquina C produz 50% dos parafusos, e 7% deles são defeituosos.
Vamos chamar de:
  • a probabilidade de o parafuso vir da máquina A.
  • a probabilidade de vir da máquina B.
  • a probabilidade de vir da máquina C.
  • a probabilidade de defeito dado que veio da máquina A.
  • a probabilidade de defeito dado que veio da máquina B.
  • a probabilidade de defeito dado que veio da máquina C.

Passo 3

Agora, queremos encontrar , e , ou seja, a probabilidade de o parafuso vir de cada máquina dado que ele é defeituoso.
Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que diz:
Onde pode ser A, B ou C, e é a probabilidade total de um parafuso ser defeituoso.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular , a probabilidade total de defeito:
Substituindo os valores:
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para cada máquina:
Para a máquina A:
Para a máquina B:
Para a máquina C:

Resposta

A probabilidade de o parafuso defeituoso ter sido fabricado pela máquina A é aproximadamente 16,9%, pela máquina B é 33,8% e pela máquina C é 49,3%.

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