Numa fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem, respectivamente,
e
do total. De sua produção,
e
são defeituosos, respectivamente. Um parafuso é retirado ao acaso da produção e verifica-se que está defeituoso. Qual a probabilidade que ele tenha sido manufaturado pelas máquinas
e C , respectivamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma fábrica de parafusos com três máquinas diferentes: A, B e C. Cada máquina produz uma certa porcentagem do total de parafusos e, dessas produções, uma porcentagem específica são defeituosas. A gente precisa descobrir qual a probabilidade de um parafuso defeituoso ter sido produzido por cada uma dessas máquinas. Para resolver isso, vamos usar probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Máquina A produz 20% dos parafusos, e 6% deles são defeituosos.
- Máquina B produz 30% dos parafusos, e 8% deles são defeituosos.
- Máquina C produz 50% dos parafusos, e 7% deles são defeituosos.
Vamos chamar de:
-
a probabilidade de o parafuso vir da máquina A. -
a probabilidade de vir da máquina B. -
a probabilidade de vir da máquina C. -
a probabilidade de defeito dado que veio da máquina A. -
a probabilidade de defeito dado que veio da máquina B. -
a probabilidade de defeito dado que veio da máquina C.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
,
e
, ou seja, a probabilidade de o parafuso vir de cada máquina dado que ele é defeituoso.
Para isso, usamos o Teorema de Bayes, que diz:
Onde
pode ser A, B ou C, e
é a probabilidade total de um parafuso ser defeituoso.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
, a probabilidade total de defeito:
Substituindo os valores:
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para cada máquina:
Para a máquina A:
Para a máquina B:
Para a máquina C:
Resposta
A probabilidade de o parafuso defeituoso ter sido fabricado pela máquina A é aproximadamente 16,9%, pela máquina B é 33,8% e pela máquina C é 49,3%.