Uma urna X contém 5 bolas brancas e 7 pretas. A urna Y contém 3 bolas brancas e 12 pretas. Uma moeda honesta é lançada. Se o resultado for Cara, selecionamos uma bola da urna X. Caso contrário, selecionamos uma bola da urna Y. Calcule: Qual a probabilidade do resultado da moeda ter sido coroa, dado que selecionamos uma bola preta?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos duas urnas:
  • Urna X: 5 bolas brancas e 7 bolas pretas.
  • Urna Y: 3 bolas brancas e 12 bolas pretas.
Uma moeda honesta é lançada:
  • Se der Cara, selecionamos uma bola da Urna X.
  • Se der Coroa, selecionamos uma bola da Urna Y.
Queremos descobrir a probabilidade de a moeda ter dado Coroa, dado que selecionamos uma bola preta. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Vamos definir os eventos:
  • : A moeda deu Coroa.
  • : Selecionamos uma bola preta.
Queremos encontrar , ou seja, a probabilidade de termos obtido Coroa dado que selecionamos uma bola preta.

Passo 3

Aplicamos o Teorema de Bayes:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.

Passo 4

Primeiro, : a probabilidade de a moeda dar Coroa. Como a moeda é honesta,

Passo 5

Segundo, : a probabilidade de selecionar uma bola preta dado que deu Coroa. Se deu Coroa, escolhemos da Urna Y, que tem 12 bolas pretas e 3 brancas, totalizando 15 bolas.

Passo 6

Agora, precisamos calcular , a probabilidade de selecionar uma bola preta de qualquer urna. Usamos a Regra da Probabilidade Total:
Onde é o evento de tirar Cara.

Passo 7

Calculamos : a probabilidade de selecionar uma bola preta dado que deu Cara. Se deu Cara, escolhemos da Urna X, que tem 7 bolas pretas e 5 brancas, totalizando 12 bolas.
Sabendo que :

Passo 8

Agora, substituímos na fórmula do Teorema de Bayes:

Resposta

A probabilidade de a moeda ter dado Coroa, dado que selecionamos uma bola preta, é de ou aproximadamente 57,83%.

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