Uma urna X contém 5 bolas brancas e 7 pretas. A urna Y contém 3 bolas brancas e 12 pretas. Uma moeda honesta é lançada. Se o resultado for Cara, selecionamos uma bola da urna X. Caso contrário, selecionamos uma bola da urna Y. Calcule: Qual a probabilidade do resultado da moeda ter sido coroa, dado que selecionamos uma bola preta?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos duas urnas:
Urna X: 5 bolas brancas e 7 bolas pretas.
Urna Y: 3 bolas brancas e 12 bolas pretas.
Uma moeda honesta é lançada:
Se der Cara, selecionamos uma bola da Urna X.
Se der Coroa, selecionamos uma bola da Urna Y.
Queremos descobrir a probabilidade de a moeda ter dado Coroa, dado que selecionamos uma bola preta. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes.
Passo 2
Vamos definir os eventos:
: A moeda deu Coroa.
: Selecionamos uma bola preta.
Queremos encontrar , ou seja, a probabilidade de termos obtido Coroa dado que selecionamos uma bola preta.
Passo 3
Aplicamos o Teorema de Bayes:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.
Passo 4
Primeiro, : a probabilidade de a moeda dar Coroa. Como a moeda é honesta,
Passo 5
Segundo, : a probabilidade de selecionar uma bola preta dado que deu Coroa. Se deu Coroa, escolhemos da Urna Y, que tem 12 bolas pretas e 3 brancas, totalizando 15 bolas.
Passo 6
Agora, precisamos calcular , a probabilidade de selecionar uma bola preta de qualquer urna. Usamos a Regra da Probabilidade Total:
Onde é o evento de tirar Cara.
Passo 7
Calculamos : a probabilidade de selecionar uma bola preta dado que deu Cara. Se deu Cara, escolhemos da Urna X, que tem 7 bolas pretas e 5 brancas, totalizando 12 bolas.
Sabendo que :
Passo 8
Agora, substituímos na fórmula do Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de a moeda ter dado Coroa, dado que selecionamos uma bola preta, é de ou aproximadamente 57,83%.