Uma fábrica produz
unidades do produto
e
unidades do produto
. Todas as unidades serão vendidas se o preço do produto A for
reais e o preço do produto
for
reais. A função de custo conjunto dos produtos é
reais. Quais devem ser os valores de
e
para que o lucro seja máximo? (Usar a hessiana.)
3C
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que produz duas coisas: o produto A e o produto B. A gente sabe como os preços desses produtos dependem das quantidades que a gente produz:
- Para o produto A:
reais por unidade. - Para o produto B:
reais por unidade.
Além disso, o custo para produzir
unidades de A e
unidades de B é dado por
reais.
A pergunta quer saber quais valores de
e
vão fazer o lucro da fábrica ser o maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização e derivadas para encontrar o máximo da função lucro, e depois verificar se de fato é um máximo usando a hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função lucro. O lucro é a diferença entre a receita total e o custo total.
A receita total
é dada pela soma das receitas dos produtos A e B:
Simplificando:
Agora, o lucro
é:
Simplificando mais:
Passo 3
Para encontrar os valores de
e
que maximizam o lucro, precisamos achar os pontos críticos da função
. Isso significa encontrar onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos ambas a zero:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeiro, da equação (2):
Agora, substituímos
na equação (1):
Substituindo
em
:
Passo 5
Encontramos um ponto crítico em
. Para confirmar se esse ponto é de máximo, usamos a matriz hessiana, que envolve as segundas derivadas da função lucro.
As segundas derivadas são:
A matriz hessiana
fica:
O determinante da hessiana é:
Como o determinante é positivo e
, o ponto
é um ponto de máximo.
Resposta
Para maximizar o lucro, a fábrica deve produzir
unidades do produto A e
unidades do produto B.