Uma fábrica produz unidades do produto e unidades do produto . Todas as unidades serão vendidas se o preço do produto A for reais e o preço do produto for reais. A função de custo conjunto dos produtos é reais. Quais devem ser os valores de e para que o lucro seja máximo? (Usar a hessiana.) 3C

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que produz duas coisas: o produto A e o produto B. A gente sabe como os preços desses produtos dependem das quantidades que a gente produz: - Para o produto A: reais por unidade. - Para o produto B: reais por unidade. Além disso, o custo para produzir unidades de A e unidades de B é dado por reais. A pergunta quer saber quais valores de e vão fazer o lucro da fábrica ser o maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de **otimização** e **derivadas** para encontrar o máximo da função lucro, e depois verificar se de fato é um máximo usando a **hessiana**.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função lucro. O lucro é a diferença entre a receita total e o custo total. A receita total é dada pela soma das receitas dos produtos A e B: Simplificando: Agora, o lucro é: Simplificando mais:

Passo 3

Para encontrar os valores de e que maximizam o lucro, precisamos achar os pontos críticos da função . Isso significa encontrar onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais: Agora, igualamos ambas a zero:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Primeiro, da equação (2): Agora, substituímos na equação (1): Substituindo em :

Passo 5

Encontramos um ponto crítico em . Para confirmar se esse ponto é de máximo, usamos a matriz hessiana, que envolve as segundas derivadas da função lucro. As segundas derivadas são: A matriz hessiana fica: O determinante da hessiana é: Como o determinante é positivo e , o ponto é um ponto de máximo.

Resposta

Para maximizar o lucro, a fábrica deve produzir unidades do produto A e unidades do produto B.

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