Uma fábrica produz x unidades do produto A e y unidades do produto B. Todas as unidades serão vendidas se o preço do produto A for p(x) = 20 - 5 x reais e o preço do produto B for q(y) = 4 - 2y reais. A função de custo conjunto dos produtos é C(x, y) = 2xy + 4 reais. Quais devem ser os valores de x e y para que o lucro seja máximo? (Usar a hessiana.)
3C

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que produz duas coisas: o produto A e o produto B. A gente sabe como os preços desses produtos dependem das quantidades que a gente produz:
  • Para o produto A: reais por unidade.
  • Para o produto B: reais por unidade.
Além disso, o custo para produzir unidades de A e unidades de B é dado por reais.
A pergunta quer saber quais valores de e vão fazer o lucro da fábrica ser o maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização e derivadas para encontrar o máximo da função lucro, e depois verificar se de fato é um máximo usando a hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função lucro. O lucro é a diferença entre a receita total e o custo total.
A receita total é dada pela soma das receitas dos produtos A e B:
Simplificando:
Agora, o lucro é:
Simplificando mais:

Passo 3

Para encontrar os valores de e que maximizam o lucro, precisamos achar os pontos críticos da função . Isso significa encontrar onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos ambas a zero:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Primeiro, da equação (2):
Agora, substituímos na equação (1):
Substituindo em :

Passo 5

Encontramos um ponto crítico em . Para confirmar se esse ponto é de máximo, usamos a matriz hessiana, que envolve as segundas derivadas da função lucro.
As segundas derivadas são:
A matriz hessiana fica:
O determinante da hessiana é:
Como o determinante é positivo e , o ponto é um ponto de máximo.

Resposta

Para maximizar o lucro, a fábrica deve produzir unidades do produto A e unidades do produto B.

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