Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente no estudo de otimização de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar pontos críticos da função e analisar a natureza desses pontos usando derivadas parciais e a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero ou não existem. No nosso caso, temos duas variáveis: e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:

Passo 5

Resolvendo a primeira equação para :
Substituindo esse valor de na segunda equação:

Passo 6

As soluções para essa equação são ou . Porém, não está no domínio da função original (já que teríamos divisão por zero). Então, temos:
Então, . Agora, substituindo na expressão que encontramos para :
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 7

Agora, vamos determinar a natureza desse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais da função:

Passo 8

Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
No ponto :
Então:

Passo 9

Analisamos o sinal de e de :
  • Se e , temos um mínimo relativo.
  • Se e , temos um máximo relativo.
  • Se , temos um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e , então a função tem um mínimo relativo no ponto .

Resposta

A função tem um mínimo relativo no ponto e não possui máximos relativos nem pontos de sela.

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