Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente no estudo de otimização de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar pontos críticos da função e analisar a natureza desses pontos usando derivadas parciais e a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero ou não existem. No nosso caso, temos duas variáveis:
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Passo 5
Resolvendo a primeira equação para
:
Substituindo esse valor de
na segunda equação:
Passo 6
As soluções para essa equação são
ou
. Porém,
não está no domínio da função original (já que teríamos divisão por zero). Então, temos:
Então,
. Agora, substituindo
na expressão que encontramos para
:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 7
Agora, vamos determinar a natureza desse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais da função:
Passo 8
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
No ponto
:
Então:
Passo 9
Analisamos o sinal de
e de
:
- Se
e , temos um mínimo relativo. - Se
e , temos um máximo relativo. - Se
, temos um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, então a função tem um mínimo relativo no ponto
.
Resposta
A função
tem um mínimo relativo no ponto
e não possui máximos relativos nem pontos de sela.
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Seja
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(a)
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