Uma fábrica produz válvulas. Sabe-se que o desvio padrão da duração é de 100 horas. Uma amostra de 400 válvulas apresentou média de 400 horas:
(b) Qual o intervalo de confiança de 99 % para a vida média da população?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre intervalo de confiança para a vida média das válvulas produzidas por uma fábrica. O que precisamos saber aqui é de estatística, mais especificamente sobre como calcular o intervalo de confiança quando conhecemos o desvio padrão da população. Vamos usar uma amostra grande (400 válvulas) para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do intervalo de confiança quando o desvio padrão da população ( sigma) é conhecido. A fórmula é:
ç
Aqui:
  • é a média da amostra
  • z é o valor crítico correspondente ao nível de confiança desejado
  • sigma é o desvio padrão da população
  • n é o tamanho da amostra

Passo 3

Nosso nível de confiança é de . Precisamos encontrar o valor de z que corresponde a esse nível. Para , o valor crítico z é aproximadamente . Esse valor vem da tabela da distribuição normal padrão e representa quantos desvios padrão a média da amostra está do verdadeiro valor da média da população com de confiança.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão ( ), que é :
O erro padrão nos dá uma ideia de quão distante a média da amostra pode estar da média verdadeira da população.

Passo 5

Agora, calculamos a margem de erro multiplicando o valor de z pelo erro padrão:
Isso significa que a média da amostra pode variar horas para mais ou para menos em relação à média verdadeira da população com de confiança.

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
ç
Ou seja:

Resposta

O intervalo de confiança de para a vida média da população é de horas a horas.

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