Um fabricante de caixas deseja construir caixas abertas a partir de folhas quadradas de papelão com 30cm de lado, cortando quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados para cima. Determine as dimensões da caixa de maior volume que pode ser construída.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma folha quadrada de papelão com 30 cm de lado e queremos transformar isso numa caixa aberta. Para isso, a ideia é cortar quadradinhos iguais nos cantos e dobrar as laterais. Nosso objetivo aqui é encontrar qual o tamanho desses quadradinhos que fará a caixa ter o maior volume possível. Isso envolve um pouco de matemática de otimização, principalmente funções e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar de o lado de cada quadradinho que vamos cortar nos cantos. Ao cortar esses quadradinhos e dobrar, as dimensões da base da caixa vão diminuir. Como a folha original tem 30 cm de lado e cortamos de cada lado, a nova medida de cada lado da base da caixa será cm. A altura da caixa, por causa dos quadradinhos cortados, será exatamente cm.

Passo 3

Agora, vamos pensar no volume da caixa. O volume é o produto da área da base pela altura. Então, a área da base é V(x) = x cdot (30 - 2x)^2 cm por cm, que dá . Multiplicando pela altura , temos que o volume é:
Esse é o nosso modelo matemático que vamos usar para encontrar o máximo volume.

Passo 4

Para encontrar o valor de V'(x) = ddx [ x cdot (30 - 2x)^2 ] que maximiza o volume, precisamos derivar a função V'(x) = (30 - 2x)^2 + x cdot 2(30 - 2x)(-2) em relação a V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) e encontrar onde essa derivada é zero - isso nos dá os pontos críticos que podem valer o máximo. Então, vamos calcular a derivada de (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = 0 :
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, a derivada fica:
Simplificando:
Para encontrar o ponto onde o volume é máximo, igualamos a derivada a zero:

Passo 5

Vamos resolver a equação:
(30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = 0
Fatorando (30 - 2x)(30 - 2x - 4x) = 0 :
(30 - 2x)(30 - 6x) = 0
Isso nos dá duas soluções possíveis:
  1. cm (mas isso não faz sentido, porque cortar 15 cm de cada lado eliminaria a base)
  2. cm
Portanto, a única solução viável é cm.

Resposta

A caixa de maior volume terá dimensões de:
  • Comprimento: cm
  • Largura: cm
  • Altura: cm
Então, a caixa ótima tem base de 20 cm por 20 cm e altura de 5 cm.

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