Um fabricante de caixas deseja construir caixas abertas a partir de folhas quadradas de papelão com
de lado, cortando quadrados iguais nos cantos e dobrando os lados para cima. Determine as dimensões da caixa de maior volume que pode ser construída.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma folha quadrada de papelão com 30 cm de lado e queremos transformar isso numa caixa aberta. Para isso, a ideia é cortar quadradinhos iguais nos cantos e dobrar as laterais. Nosso objetivo aqui é encontrar qual o tamanho desses quadradinhos que fará a caixa ter o maior volume possível. Isso envolve um pouco de matemática de otimização, principalmente funções e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar de
o lado de cada quadradinho que vamos cortar nos cantos. Ao cortar esses quadradinhos e dobrar, as dimensões da base da caixa vão diminuir. Como a folha original tem 30 cm de lado e cortamos
de cada lado, a nova medida de cada lado da base da caixa será
cm. A altura da caixa, por causa dos quadradinhos cortados, será exatamente
cm.
Passo 3
Agora, vamos pensar no volume da caixa. O volume é o produto da área da base pela altura. Então, a área da base é
cm por
cm, que dá
. Multiplicando pela altura
, temos que o volume
é:
Esse é o nosso modelo matemático que vamos usar para encontrar o máximo volume.
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, precisamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é zero - isso nos dá os pontos críticos que podem valer o máximo. Então, vamos calcular a derivada de
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, a derivada fica:
Simplificando:
Para encontrar o ponto onde o volume é máximo, igualamos a derivada a zero:
Passo 5
Vamos resolver a equação:
Fatorando
:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
-
⟹ cm (mas isso não faz sentido, porque cortar 15 cm de cada lado eliminaria a base) -
⟹ cm
Portanto, a única solução viável é
cm.
Resposta
A caixa de maior volume terá dimensões de:
- Comprimento:
cm - Largura:
cm - Altura:
cm
Então, a caixa ótima tem base de 20 cm por 20 cm e altura de 5 cm.
Exercícios relacionados
Calcule
Apresente a equação para avaliar a distribuição de concentração no local da tomada de água e justifique as hipóteses/simplificações adotadas.
Seja
Determine os valores de e
para que
seja contínua em
.
Determine os valores de
Linearize a equação e determine o coeficiente de reação
para esta reação de primeira ordem por mínimos quadrados.