Seja
Determine os valores de e para que seja contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de continuidade de funções. A questão nos dá uma função definida por partes e pede para encontrarmos os valores de e que fazem com que a função seja contínua em . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita, e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto. Matematicamente, para ser contínua em :
Vamos calcular esses limites.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( ):
Sabemos que:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita ( ):
Para a função ser contínua em , os limites devem ser iguais:
Então, já temos que .

Passo 5

Além disso, para que a função seja contínua, o valor da função em deve ser igual aos limites. Vamos calcular :
Isso confirma que . Não há restrição adicional para , já que o termo com desaparece em .

Resposta

pode ser qualquer número real e .

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Resposta: .