Seja f(x) = cl sen(x)x, & mboxse x<0 ax^3+b, & mboxse x >= 0
Determine os valores de a e b para que f seja contínua em x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de continuidade de funções. A questão nos dá uma função definida por partes e pede para encontrarmos os valores de e que fazem com que a função seja contínua em . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando limx to 0^- f(x) = limx to 0^+ f(x) = f(0) se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita, e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto. Matematicamente, para ser contínua em :
Vamos calcular esses limites.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( limx to 0^- f(x) = limx to 0^- sen(x)x ):
Sabemos que:
Então:
limx to 0 sen(x)x = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita ( limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (a x^3 + b) = a cdot 0^3 + b = b ):
1 = b
Para a função ser contínua em , os limites devem ser iguais:
Então, já temos que .

Passo 5

Além disso, para que a função seja contínua, o valor da função em f(0) = a cdot 0^3 + b = b = 1 deve ser igual aos limites. Vamos calcular :
Isso confirma que . Não há restrição adicional para , já que o termo com desaparece em .

Resposta

pode ser qualquer número real e .

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