Prove que uma seqüência limitada que não converge possui pelo menos dois pontos aderentes.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma sequência que está limitada, ou seja, todos os seus termos ficam dentro de algum intervalo fixo, e ela não está convergindo para nenhum número específico. Nosso objetivo é provar que, nesse caso, essa sequência tem pelo menos dois pontos aderentes, também conhecidos como pontos de acumulação ou pontos-limite. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de convergência de sequências, pontos limites e usar o Teorema de Bolzano-Weierstrass, que nos diz que toda sequência limitada tem pelo menos um ponto limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência ser limitada. Isso quer dizer que existe um número real tal que todos os termos da sequência satisfazem . Ou seja, a sequência não “vai para o infinito” em nenhuma direção.

Passo 3

Agora, como a sequência não converge, ela não se aproxima de nenhum número específico conforme cresce. Mas como está limitada, o Teorema de Bolzano-Weierstrass entra em cena. Esse teorema nos garante que toda sequência limitada em tem pelo menos um ponto limite.

Passo 4

Vamos chamar esse primeiro ponto limite de . Ou seja, existe uma subsequência de que converge para . Como a sequência não converge para nenhum ponto único, deve haver termos que se afastam de .

Passo 5

Agora, como os termos não estão “focados” em , deve haver outra parte da sequência que se aproxima de outro ponto diferente de . Vamos chamar esse segundo ponto limite de .

Passo 6

Para verificar isso, consideremos que se a sequência tivesse apenas um ponto limite, então ela deveria convergir para esse ponto, o que contraria nosso enunciado de que a sequência não converge. Portanto, deve existir pelo menos outro ponto limite diferente de .

Resposta

Assim, provamos que uma sequência limitada que não converge necessariamente possui pelo menos dois pontos aderentes, e , garantindo a existência de múltiplos pontos de acumulação.

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