Um Fabricante estima que o custo marginal para produzir q unidades de um produto é C'(q) = 3q^2 - 24q + 48 reais por unidade. Se o custo para produzir 10 unidades é R, qual é o custo para produzir 30 unidades?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A empresa sabe que o custo marginal para produzir q unidades é dado por reais por unidade. Além disso, sabemos que produzir 10 unidades custa R$ 5.000,00. Nosso objetivo é descobrir qual será o custo para produzir 30 unidades.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral. Basicamente, vamos integrar a função do custo marginal para achar a função total de custo . Depois, com a informação que , conseguimos encontrar a constante da integração e, finalmente, calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função do custo marginal para achar a função de custo total. A função dada é:
A integral de em relação a q nos dá :
Integrando termo a termo:
Aqui, K é a constante de integração que vamos descobrir no próximo passo.

Passo 3

Agora, usamos a informação que produzir 10 unidades custa R$ 5.000,00 para encontrar o valor de . Substituindo na função :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora que encontramos , podemos escrever a função completa do custo total:
Vamos usar essa função para calcular o custo de produzir 30 unidades:

Resposta

O custo para produzir 30 unidades é R$ 22.360,00.

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