Resolvas os problemas abaixo:
A taxa de operação (expressa em porcentagem) de fábricas, minas e empresas de serviços em uma certa região do país no t-ésimo dia do ano de 2000 é dada pela função.
f(t) = 80 + 1200t / (t^2 + 40000) (0 <= t <= 250)
Em que dia dos primeiros 250 dias de 2000 a taxa de operação da capacidade de produção foi máxima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a taxa de operação de fábricas, minas e empresas de serviços em uma região durante os primeiros 250 dias do ano 2000. A função que representa essa taxa é:
Nosso objetivo aqui é descobrir em qual dia, dentro desses 250 dias, a taxa de operação atingiu o valor máximo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a encontrar pontos de máximo e mínimo em funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar o ponto onde a função atinge seu valor máximo, vamos procurar onde a derivada da função é igual a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando a cada instante.
Então, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 3

Vamos derivar a função . A constante 80 derivate é zero, então só precisamos derivar a segunda parte. Vamos chamar de .
Para derivar , usamos a regra do quociente:

Passo 4

Simplificando a derivada:
Então, a derivada total de é:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos, igualamos a derivada a zero:
O denominador nunca é zero, então focamos no numerador:

Passo 6

Resolvendo a equação:

Passo 7

Encontramos que dias. Agora, vamos verificar se esse ponto realmente é um máximo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou verificar os valores próximos.
Vamos optar por verificar os valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que a função atinge o mesmo valor próximo a , indicando que esse é o ponto onde a taxa é máxima.

Resposta

A taxa de operação da capacidade de produção foi máxima no dia 200 dos primeiros 250 dias de 2000.

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