Um fabricante faz dois modelos de um item, padrão e de luxo. custa para fabricar um modelo padrão e R o de luxo. Uma firma de pesquisa de mercado estima que se o modelo padrão for vendido por reais e o de luxo por reais, então o fabricante venderá do item padrão e do de luxo a cada ano. Com qual preço os itens devem ser vendidos para maximizar o lucro?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos dois modelos de um item, padrão e de luxo. O custo de fabricação é de R$40 para o padrão e R$60 para o de luxo. Queremos descobrir os preços (padrão) e (luxo) que maximizam o lucro. Para isso, precisamos calcular o lucro total, considerando a receita das vendas menos os custos de fabricação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantos itens serão vendidos. De acordo com o enunciado:
  • Itens padrão vendidos:
  • Itens de luxo vendidos:

Passo 3

A receita total é dada pelo preço de venda multiplicado pela quantidade vendida para cada modelo:
  • Receita padrão:
  • Receita de luxo:
Então, a receita total é:

Passo 4

Os custos totais são os custos de fabricação multiplicados pela quantidade produzida:
  • Custo padrão:
  • Custo de luxo:
Então, o custo total é:

Passo 5

O lucro é a receita total menos os custos totais:
Substituindo as expressões de e :

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do lucro:
Após simplificar:

Passo 7

Para maximizar o lucro, precisamos encontrar os pontos críticos calculando as derivadas parciais de em relação a e e igualando-as a zero.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 8

Vamos resolver o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo as equações por 1000:

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
No entanto, um preço negativo não faz sentido. Vamos verificar os cálculos.

Passo 10

Revisando a simplificação no Passo 6, parece que houve um erro. Vamos recalcular o lucro corretamente:
Simplificando:
Agora, recalculando as derivadas:

Passo 11

Resolvendo o sistema atualizado:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Resposta

Para maximizar o lucro, os preços devem ser:
  • Modelo padrão: R$5
  • Modelo de luxo: R$15

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Seja . Calcule:
Calcule as derivadas parciais de ordem em e :