Um fabricante faz dois modelos de um item, padrão e de luxo. custa
para fabricar um modelo padrão e R
o de luxo. Uma firma de pesquisa de mercado estima que se o modelo padrão for vendido por
reais e o de luxo por
reais, então o fabricante venderá
do item padrão e
do de luxo a cada ano. Com qual preço os itens devem ser vendidos para maximizar o lucro?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos dois modelos de um item, padrão e de luxo. O custo de fabricação é de R$40 para o padrão e R$60 para o de luxo. Queremos descobrir os preços
(padrão) e
(luxo) que maximizam o lucro. Para isso, precisamos calcular o lucro total, considerando a receita das vendas menos os custos de fabricação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantos itens serão vendidos. De acordo com o enunciado:
- Itens padrão vendidos:
- Itens de luxo vendidos:
Passo 3
A receita total é dada pelo preço de venda multiplicado pela quantidade vendida para cada modelo:
- Receita padrão:
- Receita de luxo:
Então, a receita total
é:
Passo 4
Os custos totais são os custos de fabricação multiplicados pela quantidade produzida:
- Custo padrão:
- Custo de luxo:
Então, o custo total
é:
Passo 5
O lucro
é a receita total menos os custos totais:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão do lucro:
Após simplificar:
Passo 7
Para maximizar o lucro, precisamos encontrar os pontos críticos calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualando-as a zero.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 8
Vamos resolver o sistema de equações:
Podemos simplificar dividindo as equações por 1000:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
No entanto, um preço negativo não faz sentido. Vamos verificar os cálculos.
Passo 10
Revisando a simplificação no Passo 6, parece que houve um erro. Vamos recalcular o lucro corretamente:
Simplificando:
Agora, recalculando as derivadas:
Passo 11
Resolvendo o sistema atualizado:
-
→ -
→
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Resposta
Para maximizar o lucro, os preços devem ser:
- Modelo padrão: R$5
- Modelo de luxo: R$15
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Seja
. Calcule:
Calcule as derivadas parciais de
ordem em
e
: