Um fabricante de garrafas, ao analisar o ritmo da sua produção, observou que suas máquinas produziam, aproximadamente, uma quantidade de garrafas segundo a lei da função: G(t)=200+80.sen(πt/6+π/3), onde G(t) representa o número de garrafas produzidas no tempo t em horas. Qual é a produção mínima das máquinas dessa fábrica e em quais horários do dia essa produção ocorre?
120 garrafas às 7h e 19h.
200 garrafas à 1h e às 13h.
200 garrafas às 7h e às 19h.
120 garrafas à 1h e às 13h.
120 garrafas à 2h e às 14h.
120 garrafas às 7h e 19h.
200 garrafas à 1h e às 13h.
200 garrafas às 7h e às 19h.
120 garrafas à 1h e às 13h.
120 garrafas à 2h e às 14h.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a produção de garrafas de uma fábrica, que segue uma função trigonométrica. Precisamos encontrar qual é a produção mínima das máquinas e em quais horários isso acontece. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções seno e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que descreve a produção das garrafas:
Aqui, $ G(t) $ representa o número de garrafas produzidas no tempo $ t $ em horas. A função seno varia entre -1 e 1, então vamos identificar como isso afeta a produção.
Passo 3
A produção mínima acontece quando o valor da função seno é o menor possível, que é -1. Então, vamos calcular a produção mínima substituindo
por -1:
Portanto, a produção mínima é de 120 garrafas.
Passo 4
Agora, precisamos descobrir em quais horários isso ocorre. Para isso, vamos resolver a equação onde o seno é igual a -1:
Sabemos que
Passo 5
Vamos igualar os argumentos das funções seno:
Agora, vamos resolver para $ t $:
Multiplicando ambos os lados por 6 e dividindo por
Passo 6
Simplificando, temos:
Isso significa que a produção mínima ocorre aproximadamente às 1h e depois a cada 12 horas. Considerando um dia completo, os horários são 1h e 13h.
Resposta
A produção mínima é de 120 garrafas às 1h e às 13h.