Um fabricante de garrafas, ao analisar o ritmo da sua produção, observou que suas máquinas produziam, aproximadamente, uma quantidade de garrafas segundo a lei da função: G(t)=200+80.sen(πt/6+π/3), onde G(t) representa o número de garrafas produzidas no tempo t em horas. Qual é a produção mínima das máquinas dessa fábrica e em quais horários do dia essa produção ocorre?
120 garrafas às 7h e 19h.
200 garrafas à 1h e às 13h.
200 garrafas às 7h e às 19h.
120 garrafas à 1h e às 13h.
120 garrafas à 2h e às 14h.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a produção de garrafas de uma fábrica, que segue uma função trigonométrica. Precisamos encontrar qual é a produção mínima das máquinas e em quais horários isso acontece. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções seno e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve a produção das garrafas:
G(t) = 200 + 80 cdot sin(pi t6 + pi3)
Aqui, $ G(t) $ representa o número de garrafas produzidas no tempo $ t $ em horas. A função seno varia entre -1 e 1, então vamos identificar como isso afeta a produção.

Passo 3

A produção mínima acontece quando o valor da função seno é o menor possível, que é -1. Então, vamos calcular a produção mínima substituindo sin por -1:
Gmin = 200 + 80 cdot (-1) = 200 - 80 = 120
Portanto, a produção mínima é de 120 garrafas.

Passo 4

Agora, precisamos descobrir em quais horários isso ocorre. Para isso, vamos resolver a equação onde o seno é igual a -1:
sin(pi t6 + pi3) = -1
Sabemos que sin(theta) = -1 quando theta = 3pi2 + 2kpi, onde k é um inteiro.

Passo 5

Vamos igualar os argumentos das funções seno:
pi t6 + pi3 = 3pi2 + 2kpi
Agora, vamos resolver para $ t $:
t
pi t6 = 3pi2 - pi3 + 2kpi
pi t6 = 9pi6 - 2pi6 + 12kpi6
Multiplicando ambos os lados por 6 e dividindo por pi t6 = 7pi6 + 2kpi :
pi

Passo 6

Simplificando, temos:
t = 1 16 + 12k
Isso significa que a produção mínima ocorre aproximadamente às 1h e depois a cada 12 horas. Considerando um dia completo, os horários são 1h e 13h.

Resposta

A produção mínima é de 120 garrafas às 1h e às 13h.

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