Um fabricante modelou sua função P da produção anual (o valor de toda essa produção em milhões de dólares) como uma função Cobb-Douglas
P(L, K) = 1,47 * L^0,65 * K^0,35
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhões de dólares). Suponha que quando L = 30 e K = 8, a força de trabalho esteja decrescendo em uma taxa de \$ por ano. Encontre a taxa de variação da produção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta uma função de produção anual , que é uma função Cobb-Douglas. Essa função relaciona a quantidade de produção com dois fatores: L (horas trabalhadas em milhares) e K (capital investido em milhões de dólares). A gente precisa descobrir como a produção está variando quando a força de trabalho está diminuindo a uma certa taxa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais e taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa taxa de variação da produção. Basicamente, queremos saber como a produção P muda ao longo do tempo quando o número de horas trabalhadas L está variando. Como P depende de L e K, e se K está constante, a variação de P vai depender apenas da variação de L.

Passo 3

Para encontrar essa taxa de variação, usamos a derivada parcial de P em relação a L, representada por . Essa derivada nos mostra como a produção muda quando ajustamos apenas L, mantendo K fixo. A função dada é:
Vamos calcular .

Passo 4

Calculando a derivada parcial:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos avaliar essa derivada no ponto dado: e . Substituindo na expressão:
Vamos calcular cada parte:
Multiplicando:

Passo 6

Agora, sabemos que a força de trabalho está diminuindo a uma taxa de \$ por ano. Como está em milhares, essa taxa se traduz em:
A taxa de variação da produção é dada por:
õó

Resposta

A taxa de variação da produção é de aproximadamente milhões de dólares por ano, ou seja, a produção está diminuindo em cerca de dólares por ano.

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