Um fabricante modelou sua função da produção anual (o valor de toda essa produção em milhões de dólares) como uma função Cobb-Douglas
onde é o número de horas trabalhadas (em milhares) e é o capital investido (em milhões de dólares). Suponha que quando e , a força de trabalho esteja decrescendo em uma taxa de por ano. Encontre a taxa de variação da produção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta uma função de produção anual , que é uma função Cobb-Douglas. Essa função relaciona a quantidade de produção com dois fatores: (horas trabalhadas em milhares) e (capital investido em milhões de dólares). A gente precisa descobrir como a produção está variando quando a força de trabalho está diminuindo a uma certa taxa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais e taxa de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa taxa de variação da produção. Basicamente, queremos saber como a produção muda ao longo do tempo quando o número de horas trabalhadas está variando. Como depende de e , e se está constante, a variação de vai depender apenas da variação de .
Passo 3
Para encontrar essa taxa de variação, usamos a derivada parcial de em relação a , representada por . Essa derivada nos mostra como a produção muda quando ajustamos apenas , mantendo fixo. A função dada é:
Vamos calcular .
Passo 4
Calculando a derivada parcial:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos avaliar essa derivada no ponto dado: e . Substituindo na expressão:
Vamos calcular cada parte:
Multiplicando:
Passo 6
Agora, sabemos que a força de trabalho está diminuindo a uma taxa de \$ por ano. Como está em milhares, essa taxa se traduz em:
A taxa de variação da produção é dada por:
õó
Resposta
A taxa de variação da produção é de aproximadamente milhões de dólares por ano, ou seja, a produção está diminuindo em cerca de dólares por ano.