Utilize a regra da cadeia para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=sen(x-y), x=s^2+t^2, y=1-2 s t

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar as derivadas parciais de z = sin(x - y), x = s^2 + t^2, y = 1 - 2st em relação a e usando a regra da cadeia. Aqui, temos:
Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis, que nos ajuda a encontrar derivadas quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = cos(x - y) cdot partial (x - y)partial x = cos(x - y) cdot 1 = cos(x - y) em relação a partial zpartial y = cos(x - y) cdot partial (x - y)partial y = cos(x - y) cdot (-1) = -cos(x - y) e :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de partial xpartial s = 2s, partial xpartial t = 2t e partial ypartial s = -2t, partial ypartial t = -2s em relação a e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s :
partial zpartial s = cos(x - y) cdot 2s + (-cos(x - y)) cdot (-2t) = 2s cos(x - y) + 2t cos(x - y) = 2(s + t)cos(x - y)
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

De forma similar, encontramos partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t :
partial zpartial t = cos(x - y) cdot 2t + (-cos(x - y)) cdot (-2s) = 2t cos(x - y) + 2s cos(x - y) = 2(s + t)cos(x - y)
Substituindo os valores:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2(s + t)cos(x - y)
partial zpartial t = 2(s + t)cos(x - y)

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