Utilize a regra da cadeia para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=x^2 y^3, x=s cos t, y=s+sen t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de z = x^2 y^3, x = s cos t, y = s + sin t em relação a e . Estamos trabalhando com as funções:
A Regra da Cadeia é super útil quando temos funções compostas, tipo aqui onde depende de e , que por sua vez dependem de e . Vamos precisar calcular as derivadas parciais de e em relação a e primeiro para depois aplicar a regra.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de partial xpartial s = cos t e partial xpartial t = -s sin t e partial ypartial s = 1 e partial ypartial t = cos t em relação a e .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x y^3 e partial zpartial y = 3x^2 y^2 em relação a e .
Para :

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia, temos que:
partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s
partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t

Passo 5

Vamos substituir as derivadas que já calculamos:
Para partial zpartial s = (2x y^3) cdot (cos t) + (3x^2 y^2) cdot (1) :
partial zpartial t = (2x y^3) cdot (-s sin t) + (3x^2 y^2) cdot (cos t)
Para :

Passo 6

Agora, substituímos partial zpartial s = 2(s cos t)(s + sin t)^3 cdot cos t + 3(s cos t)^2 (s + sin t)^2 cdot 1 e partial zpartial t = 2(s cos t)(s + sin t)^3 cdot (-s sin t) + 3(s cos t)^2 (s + sin t)^2 cdot cos t nas expressões acima:
Para :
Para :

Passo 7

Podemos simplificar um pouco as expressões:
Para partial zpartial s = 2s cos^2 t (s + sin t)^3 + 3s^2 cos^2 t (s + sin t)^2 :
partial zpartial t = -2s sin t cos t (s + sin t)^3 + 3s^2 cos^3 t (s + sin t)^2
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2s cos^2 t (s + sin t)^3 + 3s^2 cos^2 t (s + sin t)^2
partial zpartial t = -2s sin t cos t (s + sin t)^3 + 3s^2 cos^3 t (s + sin t)^2

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