Use o Teorema de Stokes para calcular onde:

é a curva da intersecção do plano com o cilindo

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva , que é a interseção do plano com o cilindro .
Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície limitada por . Para isso, precisamos:
  1. Encontrar o rotacional de , ou seja, .
  2. Escolher uma superfície limitada por para calcular a integral de superfície.
  3. Parametrizar a superfície para facilitar a integração.
  4. Calcular a integral de superfície e obter o resultado final.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Para nosso campo :
Calculando as derivadas parciais:
Assim, o rotacional fica:

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma superfície limitada pela curva . A curva é a interseção do plano com o cilindro . Vamos escolher como a região circular no plano.
Para parametrizar a superfície, vamos resolver a equação do plano para :
Então, podemos usar coordenadas polares para descrever a região no plano . Definimos:

Passo 4

Calculamos a integral de superfície do rotacional de :
Onde é o vetor normal à superfície . Para o plano , o vetor normal é proporcional a . Para simplificar, normalizamos este vetor:
Entretanto, para a integral, só precisamos da orientação, então podemos usar diretamente.
A área diferencial no plano pode ser expressa em termos de .
Então, a integral se torna:

Passo 5

Vamos converter a integral para coordenadas polares, já que a região é um círculo de raio 5. Usamos:
A integral fica:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro:
Calculando:
Então, a integral se torna:

Passo 7

Vamos resolver a integral em :
Sabemos que:
Portanto:

Passo 8

Voltando à integral completa:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

[3, Ex. 7 p.19] Desenhe as curvas de nível para os valores de dados:
(e) .
(*) Obtenha todas as soluções da EDO
Sugestão: A solução geral é obtida por integração direta por ser a EDO separável. Obtido devemos analisar o número de soluções nos casos em que e .
Mostre que a cúbica tem um único ponto de inflexão.
Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por . Cada mesa é vendida por . Que produção semanal maximizará o lucro? Qual o máximo lucro semanal possível?