Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r onde:
F(x, y, z)=lang<= x^2 z, x y^2, z^2rang<=
C é a curva da intersecção do plano 3 x-2 y+z=5 com o cilindo x^2+y^2=25

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva , que é a interseção do plano com o cilindro .
Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície limitada por . Para isso, precisamos:
  1. Encontrar o rotacional de , ou seja, .
  2. Escolher uma superfície limitada por para calcular a integral de superfície.
  3. Parametrizar a superfície para facilitar a integração.
  4. Calcular a integral de superfície e obter o resultado final.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y ) . O rotacional de um campo vetorial P = x^2 z, Q = x y^2, R = z^2 é dado por:
partial Rpartial y = partial z^2partial y = 0
Para nosso campo partial Qpartial z = partial (x y^2)partial z = 0 :
partial Ppartial z = partial (x^2 z)partial z = x^2
Calculando as derivadas parciais:
partial Rpartial x = partial z^2partial x = 0
partial Qpartial x = partial (x y^2)partial x = y^2
partial Ppartial y = partial (x^2 z)partial y = 0
nabla times F = lang<= 0 - 0, x^2 - 0, y^2 - 0 rang<= = lang<= 0, x^2, y^2 rang<=
Assim, o rotacional fica:

Passo 3

Agora, precisamos escolher uma superfície z = 5 - 3x + 2y limitada pela curva x = 5 cos theta, y = 5 sin theta, theta in [0, 2pi] . A curva é a interseção do plano com o cilindro . Vamos escolher como a região circular no plano.
Para parametrizar a superfície, vamos resolver a equação do plano para :
Então, podemos usar coordenadas polares para descrever a região no plano . Definimos:

Passo 4

Calculamos a integral de superfície do rotacional de integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS :
n = lang<= 3, -2, 1 rang<=raiz3^2 + (-2)^2 + 1^2 = lang<= 3, -2, 1 rang<=raiz14
Onde integral duplaS (0, x^2, y^2) cdot lang<= 3, -2, 1 rang<= , dx,dy = integral duplaS (0 cdot 3) + (x^2 cdot (-2)) + (y^2 cdot 1) , dx,dy = integral duplaS (-2x^2 + y^2) , dx,dy é o vetor normal à superfície . Para o plano , o vetor normal é proporcional a . Para simplificar, normalizamos este vetor:
Entretanto, para a integral, só precisamos da orientação, então podemos usar diretamente.
A área diferencial no plano pode ser expressa em termos de .
Então, a integral se torna:

Passo 5

Vamos converter a integral para coordenadas polares, já que a região x = r cos theta, y = r sin theta, dx,dy = r , dr,dtheta é um círculo de raio 5. Usamos:
integral0^2pi integral0^5 ( -2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 ) r , dr,dtheta
A integral fica:
integral0^2pi integral0^5 ( -2r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta ) r , dr,dtheta = integral0^2pi integral0^5 ( -2 cos^2 theta + sin^2 theta ) r^3 , dr,dtheta
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver a integral em integral0^5 ( -2 cos^2 theta + sin^2 theta ) r^3 , dr = ( -2 cos^2 theta + sin^2 theta ) integral0^5 r^3 , dr = ( -2 cos^2 theta + sin^2 theta ) [ r^44 ]0^5 primeiro:
( -2 cos^2 theta + sin^2 theta ) ( 5^44 ) = ( -2 cos^2 theta + sin^2 theta ) ( 6254 )
Calculando:
6254 integral0^2pi ( -2 cos^2 theta + sin^2 theta ) , dtheta
Então, a integral se torna:

Passo 7

Vamos resolver a integral em integral0^2pi ( -2 cos^2 theta + sin^2 theta ) , dtheta = -2 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta + integral0^2pi sin^2 theta , dtheta :
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi
Sabemos que:
-2 cdot pi + pi = -pi
Portanto:

Passo 8

Voltando à integral completa:
6254 cdot (-pi) = -625pi4

Resposta

A integral é igual a .

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