Use o Teorema de Stokes para calcular
onde:
é a curva da intersecção do plano
com o cilindo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo da curva
, que é a interseção do plano
com o cilindro
.
Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
limitada por
. Para isso, precisamos:
- Encontrar o rotacional de
, ou seja, . - Escolher uma superfície
limitada por para calcular a integral de superfície. - Parametrizar a superfície
para facilitar a integração. - Calcular a integral de superfície e obter o resultado final.
Passo 2
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Para nosso campo
:
Calculando as derivadas parciais:
Assim, o rotacional fica:
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma superfície
limitada pela curva
. A curva
é a interseção do plano
com o cilindro
. Vamos escolher
como a região circular no plano.
Para parametrizar a superfície, vamos resolver a equação do plano para
:
Então, podemos usar coordenadas polares para descrever a região
no plano
. Definimos:
Passo 4
Calculamos a integral de superfície do rotacional de
:
Onde
é o vetor normal à superfície
. Para o plano
, o vetor normal é proporcional a
. Para simplificar, normalizamos este vetor:
Entretanto, para a integral, só precisamos da orientação, então podemos usar
diretamente.
A área diferencial
no plano pode ser expressa em termos de
.
Então, a integral se torna:
Passo 5
Vamos converter a integral para coordenadas polares, já que a região
é um círculo de raio 5. Usamos:
A integral fica:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Calculando:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 8
Voltando à integral completa:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
[3, Ex. 7 p.19] Desenhe as curvas de nível
para os valores de
dados:
(e) .
(e)
(*) Obtenha todas as soluções da EDO
Sugestão: A solução geral é obtida por integração direta por ser a EDO separável. Obtido
devemos analisar o número de soluções nos casos em que
e
.
Mostre que a cúbica
tem um único ponto de inflexão.
Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de
reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por
. Cada mesa é vendida por
. Que produção semanal maximizará o lucro? Qual o máximo lucro semanal possível?