Mostre que a cúbica g(x) = x^3 + a*x^2 + b*x + c tem um único ponto de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função cúbica tem um único ponto de inflexão. Vamos usar conceitos de derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão é onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.

Passo 3

Vamos encontrar a primeira derivada de :
Essa derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de :
A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da função.

Passo 5

Para encontrar o ponto de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:

Passo 6

Encontramos que é o único valor que faz . Isso significa que há apenas um ponto onde a concavidade pode mudar.

Passo 7

Para confirmar que é realmente um ponto de inflexão, precisamos verificar se a concavidade muda de sinal ao passar por . Observando a segunda derivada:
  • Se , será negativo.
  • Se , será positivo.

Passo 8

Como a segunda derivada muda de negativa para positiva ao passar por , isso confirma que há uma mudança na concavidade, caracterizando um ponto de inflexão.

Resposta

A função cúbica apresenta um único ponto de inflexão em .

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