Mostre que a cúbica
tem um único ponto de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função cúbica
tem um único ponto de inflexão. Vamos usar conceitos de derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão é onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Passo 3
Vamos encontrar a primeira derivada de
:
Essa derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de
:
A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da função.
Passo 5
Para encontrar o ponto de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:
Passo 6
Encontramos que
é o único valor que faz
. Isso significa que há apenas um ponto onde a concavidade pode mudar.
Passo 7
Para confirmar que é realmente um ponto de inflexão, precisamos verificar se a concavidade muda de sinal ao passar por
. Observando a segunda derivada:
- Se
, será negativo. - Se
, será positivo.
Passo 8
Como a segunda derivada muda de negativa para positiva ao passar por
, isso confirma que há uma mudança na concavidade, caracterizando um ponto de inflexão.
Resposta
A função cúbica
apresenta um único ponto de inflexão em
.