Um fabricante de móveis produz cadeiras, mesinhas de centro e mesas de jantar. Cada cadeira leva 10 minutos para ser lixada, 6 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesinha de centro leva 12 minutos para ser lixada, 8 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesa de jantar leva 15 minutos para ser lixada, 12 minutos para ser tingida e 18 minutos para ser envernizada. A bancada para lixar fica disponível 16 horas por semana, a bancada para tingir, 11 horas por semana, e a bancada para envernizar, 18 horas por semana. Quantos móveis devem ser fabricados (por semana) de cada tipo para que as bancadas sejam plenamente utilizadas?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fabricante que produz três tipos de móveis: cadeiras, mesinhas de centro e mesas de jantar. Cada tipo de móvel passa por três etapas de produção: lixar, tingir e envernizar, cada uma com um tempo específico. Além disso, cada uma dessas etapas tem um tempo total disponível por semana.
Nosso objetivo é descobrir quantos móveis de cada tipo devem ser produzidos por semana para que todas as bancadas (lixar, tingir e envernizar) sejam totalmente utilizadas, ou seja, sem tempo ocioso.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas de equações lineares, que nos permitem relacionar as diferentes variáveis (número de móveis) com as restrições de tempo disponíveis em cada bancada.

Passo 2

Vamos começar identificando as variáveis:
  • : Número de cadeiras produzidas por semana
  • : Número de mesinhas de centro produzidas por semana
  • : Número de mesas de jantar produzidas por semana

Passo 3

Agora, vamos montar as equações com base nos tempos de cada etapa e nas bancadas disponíveis.
Bancada de Lixar:
Cada cadeira leva 10 minutos para ser lixada, cada mesinha 12 minutos e cada mesa 15 minutos. A bancada está disponível por 16 horas por semana, ou seja, minutos.
Então:
Bancada de Tingir:
Cada cadeira leva 6 minutos para ser tingida, cada mesinha 8 minutos e cada mesa 12 minutos. A bancada está disponível por 11 horas por semana, ou seja, minutos.
Então:
Bancada de Envernizar:
Cada cadeira leva 12 minutos para ser envernizada, cada mesinha 12 minutos e cada mesa 18 minutos. A bancada está disponível por 18 horas por semana, ou seja, minutos.
Então:

Passo 4

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 5

Podemos simplificar as equações para facilitar o cálculo. Vamos dividir a segunda equação por 2:
E a terceira equação por 6:
Agora nosso sistema fica:

Passo 6

Vamos resolver o sistema pelas equações reduzidas. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.
Primeiro, subtraímos a terceira equação da segunda:
Agora temos:

Passo 7

Vamos subtrair a segunda equação da terceira:
Então, descobrimos que cadeiras devem ser produzidas por semana.

Passo 8

Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor na segunda equação reduzida:

Passo 9

Agora temos duas equações com duas incógnitas:
Substituindo na primeira equação:
Podemos dividir essa equação por 3 para simplificar:
Agora temos:

Passo 10

Vamos resolver esse sistema de duas equações. Podemos multiplicar a segunda equação por 2:
Agora, subtraímos a primeira equação desta nova equação:
Então, mesas de jantar devem ser produzidas por semana.

Passo 11

Com , vamos substituir na equação :
Portanto, mesinhas de centro devem ser produzidas por semana.

Resposta

Para que todas as bancadas sejam plenamente utilizadas por semana, o fabricante deve produzir 30 cadeiras, 30 mesinhas de centro e 20 mesas de jantar.

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Sejam e . Mostre que .