Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de R^3 : W=(x, y, z) mid x, z in R, y=x+z+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um subespaço de . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos lembrar quais são as condições que um conjunto deve satisfazer para ser considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as condições necessárias para um conjunto ser um subespaço de :
  1. Contém o vetor zero: O vetor precisa estar em .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo desse vetor também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se y = 0 + 0 + 1 = 1 contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele está em .
Substituindo e na equação :
Então, o vetor resultante é , que não é igual ao vetor zero .
Como o vetor zero não está em , já podemos concluir que não é um subespaço. Mas vamos verificar as outras condições para entender melhor.

Passo 4

2. Verificar se u = (x1, y1, z1) é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em v = (x2, y2, z2) :
y1 = x1 + z1 + 1
y2 = x2 + z2 + 1
Sabemos que:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
y1 + y2 = (x1 + x2) + (z1 + z2) + 1
A soma desses vetores é:
(x1 + z1 + 1) + (x2 + z2 + 1) = x1 + x2 + z1 + z2 + 2
Para que (x1 + x2) + (z1 + z2) + 1 = x1 + x2 + z1 + z2 + 1 esteja em , precisamos que:
Substituindo e :
Mas do outro lado:
Claramente, , a menos que 1 = 0, o que não é verdade. Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se u = (x, y, z) é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em c cdot u = (c x, c y, c z) :
c y = c x + c z + 1
Com c (x + z + 1) = c x + c z + 1 .
Multiplicando por um escalar c x + c z + c = c x + c z + 1 :
Para que esteja em , precisamos que:
Sabemos que , então:
Isso implica que . Ou seja, a propriedade só é satisfeita se , mas para ser um subespaço, isso deve valer para todo escalar . Como não é o caso, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço de porque não contém o vetor zero e não satisfaz as propriedades de adição e multiplicação por escalar.

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