Sejam
e
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem dois conjuntos de matrizes de 2x2:
- U: matrizes diagonais, ou seja, aquelas que têm zeros fora da diagonal principal.
- W: matrizes que têm zeros na diagonal principal, mas podem ter qualquer número fora dela.
O objetivo é mostrar que toda matriz 2x2 pode ser escrita como a soma de uma matriz em U e uma matriz em W. Isso é um conceito de soma direta de subespaços na Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar matrizes e verificar certas propriedades dos conjuntos U e W.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar uma matriz qualquer em
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Vamos chamar essa matriz de:
A ideia é encontrar duas matrizes, uma em U e outra em W, que somadas dão exatamente a matriz A.
Passo 3
Vamos definir uma matriz
que pertence a U. Como U é o conjunto de matrizes diagonais, a gente escolhe
colocando os elementos da diagonal de A nas posições correspondentes e zeros fora da diagonal:
Agora, vamos definir uma matriz
que pertence a W. Como W tem zeros na diagonal, colocamos os elementos fora da diagonal de A em
:
Passo 4
Agora, vamos somar
e
para verificar se realmente obtemos a matriz A:
Viu só? A soma dá exatamente a matriz A que queríamos representar.
Passo 5
Agora, precisamos garantir que essa representação é única. Isso significa que não existe outra maneira de escrever A como soma de uma matriz em U e uma em W. Para isso, devemos verificar que a interseção entre U e W contém apenas a matriz zero.
Ou seja, se uma matriz pertence a U e a W ao mesmo tempo, ela deve ser a matriz zero:
Então, a única matriz comum é a matriz zero.
Passo 6
Com isso, mostramos que:
- Todo elemento de
pode ser escrito como a soma de um elemento de U e um de W. - A interseção entre U e W é apenas a matriz zero.
Isso confirma que
, ou seja, M₂® é a soma direta de U e W.
Resposta
Assim, demonstramos que
.