Sejam e . Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem dois conjuntos de matrizes de 2x2:
  • U: matrizes diagonais, ou seja, aquelas que têm zeros fora da diagonal principal.
  • W: matrizes que têm zeros na diagonal principal, mas podem ter qualquer número fora dela.
O objetivo é mostrar que toda matriz 2x2 pode ser escrita como a soma de uma matriz em U e uma matriz em W. Isso é um conceito de soma direta de subespaços na Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar matrizes e verificar certas propriedades dos conjuntos U e W.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar uma matriz qualquer em , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Vamos chamar essa matriz de:
A ideia é encontrar duas matrizes, uma em U e outra em W, que somadas dão exatamente a matriz A.

Passo 3

Vamos definir uma matriz que pertence a U. Como U é o conjunto de matrizes diagonais, a gente escolhe colocando os elementos da diagonal de A nas posições correspondentes e zeros fora da diagonal:
Agora, vamos definir uma matriz que pertence a W. Como W tem zeros na diagonal, colocamos os elementos fora da diagonal de A em :

Passo 4

Agora, vamos somar e para verificar se realmente obtemos a matriz A:
Viu só? A soma dá exatamente a matriz A que queríamos representar.

Passo 5

Agora, precisamos garantir que essa representação é única. Isso significa que não existe outra maneira de escrever A como soma de uma matriz em U e uma em W. Para isso, devemos verificar que a interseção entre U e W contém apenas a matriz zero.
Ou seja, se uma matriz pertence a U e a W ao mesmo tempo, ela deve ser a matriz zero:
Então, a única matriz comum é a matriz zero.

Passo 6

Com isso, mostramos que:
  1. Todo elemento de pode ser escrito como a soma de um elemento de U e um de W.
  2. A interseção entre U e W é apenas a matriz zero.
Isso confirma que , ou seja, M₂® é a soma direta de U e W.

Resposta

Assim, demonstramos que .

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