Um nutricionista está planejando uma refeição contendo os alimentos A, B e C. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidratos. Cada grama do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidratos. Cada grama do alimento C contém 3 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidratos. Se a refeição precisa contém exatamente 25 unidades de proteínas, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidratos, quantos gramas de cada tipo de comida devem ser usados?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um nutricionista que quer montar uma refeição usando três alimentos diferentes: A, B e C. Cada um desses alimentos tem diferentes quantidades de proteínas, gorduras e carboidratos por grama. A gente precisa descobrir quantos gramas de cada alimento usar para que a refeição tenha exatamente 25 unidades de proteínas, 24 unidades de gorduras e 21 unidades de carboidratos. Para isso, vamos usar um pouco de matemática, especificamente sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que cada alimento contribui para a refeição:
  • Alimento A: 2 proteínas, 3 gorduras, 4 carboidratos por grama.
  • Alimento B: 3 proteínas, 2 gorduras, 1 carboidrato por grama.
  • Alimento C: 3 proteínas, 3 gorduras, 2 carboidratos por grama.
Vamos chamar a quantidade de cada alimento a ser usada de:
  • = gramas de A
  • = gramas de B
  • = gramas de C

Passo 3

Agora, vamos montar as equações baseadas nas quantidades totais que a refeição deve ter:
  1. Proteínas:
2x + 3y + 3z = 25
  1. Gorduras:
3x + 2y + 3z = 24
  1. Carboidratos:
4x + y + 2z = 21
Essas três equações formam um sistema que precisamos resolver para encontrar os valores de , e .

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou optar pela eliminação para facilitar.
Primeiro, vamos tentar eliminar uma das variáveis. Vou optar por eliminar 4x + 6y + 6z = 50 (1 times 2) 9x + 6y + 9z = 72 (2 times 3) entre as duas primeiras equações.
Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para igualar os coeficientes de (9x + 6y + 9z) - (4x + 6y + 6z) = 72 - 50 :
5x + 3z = 22 [Equação 4]
Agora, subtraindo a primeira da segunda para eliminar :
çã

Passo 5

Agora, vamos eliminar 2x + 3y + 3z = 25 (Equação 1) 8x + 2y + 4z = 42 (Equação 3 times 2) entre a primeira e a terceira equação.
Vamos multiplicar a primeira equação por 1 e a terceira por 2 para igualar os coeficientes de 4x + 6y + 6z = 50 (Equação 1 times 2) 24x + 6y + 12z = 126 (Nova Equação times 3) :
(24x + 6y + 12z) - (4x + 6y + 6z) = 126 - 50 çãçã
Agora, vamos multiplicar a Equação 1 por 2 e a nova equação por 3 para facilitar a eliminação:
20x + 6z = 76 [Equação 5] çãçã
Subtraindo a primeira da segunda:
çã

Passo 6

Agora, temos um novo sistema com as Equações 4 e 5:
5x + 3z = 22 [Equação 4] 20x + 6z = 76 [Equação 5] çãçã
Vamos simplificar a Equação 5 dividindo todos os termos por 2:
10x + 3z = 38 [Equação 6] çã
Agora, temos:
5x + 3z = 22 10x + 3z = 38
Subtraindo a Equação 4 da Equação 6:
(10x + 3z) - (5x + 3z) = 38 - 22
5x = 16
x = 165 = 3,2

Passo 7

Agora que temos o valor de 5(3,2) + 3z = 22 , vamos substituir na Equação 4 para encontrar 16 + 3z = 22 :
3z = 6
z = 2

Passo 8

Com os valores de 2(3,2) + 3y + 3(2) = 25 e 6,4 + 3y + 6 = 25 , vamos encontrar 12,4 + 3y = 25 usando a Equação 1:
3y = 12,6
y = 4,2

Resposta

Para preparar a refeição conforme as especificações, o nutricionista deve usar:
  • 3,2 gramas do alimento A
  • 4,2 gramas do alimento B
  • 2 gramas do alimento C

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