Um nutricionista está planejando uma refeição contendo os alimentos A, B e C. Cada grama do alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidratos. Cada grama do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidratos. Cada grama do alimento C contém 3 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidratos. Se a refeição precisa contém exatamente 25 unidades de proteínas, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidratos, quantos gramas de cada tipo de comida devem ser usados?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um nutricionista que quer montar uma refeição usando três alimentos diferentes: A, B e C. Cada um desses alimentos tem diferentes quantidades de proteínas, gorduras e carboidratos por grama. A gente precisa descobrir quantos gramas de cada alimento usar para que a refeição tenha exatamente 25 unidades de proteínas, 24 unidades de gorduras e 21 unidades de carboidratos. Para isso, vamos usar um pouco de matemática, especificamente sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que cada alimento contribui para a refeição:
Alimento A: 2 proteínas, 3 gorduras, 4 carboidratos por grama.
Alimento B: 3 proteínas, 2 gorduras, 1 carboidrato por grama.
Alimento C: 3 proteínas, 3 gorduras, 2 carboidratos por grama.
Vamos chamar a quantidade de cada alimento a ser usada de:
= gramas de A
= gramas de B
= gramas de C
Passo 3
Agora, vamos montar as equações baseadas nas quantidades totais que a refeição deve ter:
Proteínas:
Gorduras:
Carboidratos:
Essas três equações formam um sistema que precisamos resolver para encontrar os valores de , e .
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou optar pela eliminação para facilitar.
Primeiro, vamos tentar eliminar uma das variáveis. Vou optar por eliminar entre as duas primeiras equações.
Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para igualar os coeficientes de :
Agora, subtraindo a primeira da segunda para eliminar :
Passo 5
Agora, vamos eliminar entre a primeira e a terceira equação.
Vamos multiplicar a primeira equação por 1 e a terceira por 2 para igualar os coeficientes de :
Agora, vamos multiplicar a Equação 1 por 2 e a nova equação por 3 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a primeira da segunda:
Passo 6
Agora, temos um novo sistema com as Equações 4 e 5:
Vamos simplificar a Equação 5 dividindo todos os termos por 2:
Agora, temos:
Subtraindo a Equação 4 da Equação 6:
Passo 7
Agora que temos o valor de , vamos substituir na Equação 4 para encontrar :
Passo 8
Com os valores de e , vamos encontrar usando a Equação 1:
Resposta
Para preparar a refeição conforme as especificações, o nutricionista deve usar: