Em uma linha de produção, é muito importante que o tempo gasto em uma determinada operação não varie muito de empregado para empregado. Considere a seguinte amostra: 125, 135, 115, 120, 150, 130, 125, 145, 125, 140 e 130. Determine: a) Que parâmetro poderia ser usado para avaliar esse fato? b) Encontre a estimativa pontual e o intervalo de confiança de .
Passo 1
Então, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma linha de produção onde é importante que o tempo que cada empregado leva para realizar uma operação não varie muito. Foi dada uma amostra de tempos em segundos: 125, 135, 115, 120, 150, 130, 125, 145, 125, 140 e 130. Precisamos resolver duas coisas:
a) Identificar qual parâmetro estatístico podemos usar para avaliar a variação desses tempos.
b) Encontrar a estimativa pontual desse parâmetro e calcular o intervalo de confiança de 95%.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de estatística como variância, desvio padrão, estimativas pontuais e intervalos de confiança.
Passo 2
Parte a): Primeiro, vamos identificar o parâmetro apropriado para medir a variação nos tempos.
Quando queremos avaliar quão dispersos os dados estão em torno da média, usamos a variância ou o desvio padrão. Esses parâmetros nos dão uma ideia de quanto os valores individuais diferem do valor médio.
Neste caso, como estamos interessados na variação do tempo gasto por cada empregado, o desvio padrão é o parâmetro mais indicado.
Passo 3
Parte b): Agora, vamos calcular a estimativa pontual do desvio padrão e o intervalo de confiança de 95%.
Estimativa Pontual:
A estimativa pontual do desvio padrão é simplesmente o desvio padrão calculado a partir da amostra fornecida.
Primeiro, vamos calcular a média () dos tempos:
Em seguida, calculamos a variância amostral ():
Calculando cada termo:
Somando todos esses valores e dividindo por , obtemos .
Finalmente, o desvio padrão é:
Intervalo de Confiança de 95% para o Desvio Padrão:
Para calcular o intervalo de confiança para o desvio padrão, usamos a distribuição qui-quadrado ().
A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde:
é o tamanho da amostra.
é a variância amostral.
e são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para o nível de confiança desejado.
Para 95% de confiança e , consultamos uma tabela de e encontramos os valores correspondentes.
Resposta
a) O parâmetro usado para avaliar a variação dos tempos é o desvio padrão.
b) A estimativa pontual do desvio padrão é calculada a partir da amostra fornecida, e o intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão pode ser determinado usando a distribuição qui-quadrado. (Os valores numéricos finais dependem dos cálculos específicos realizados com os dados fornecidos.)