Um fabricante de sistemas de proteção contra incêndio alega que a temperatura média de ativação é superior a 57°C. Para avaliar essa afirmação, uma amostra aleatória de 32 sistemas é selecionada, revelando uma temperatura média de ativação de 56,5°C. Suponha que o desvio padrão populacional seja de 0,95°C, e o nível de significância seja de 10%. Considerando que será realizado um teste de inferência para verificar a alegação do fabricante, analise os itens que se seguem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre estatística, mais especificamente sobre teste de hipóteses. A gente precisa verificar se a temperatura média de ativação dos sistemas de proteção contra incêndio realmente é superior a 57°C, conforme o fabricante afirma. Para isso, vamos usar os dados da amostra fornecida: uma média de 56,5°C com desvio padrão de 0,95°C, amostrando 32 sistemas, e vamos testar isso com um nível de significância de 10%.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste. A hipótese nula ( H0) é a que vamos testar inicialmente e geralmente representa a ausência de efeito ou a afirmação contrária à que queremos verificar. A hipótese alternativa ( HA) é o que queremos provar.
  • Hipótese nula ( H0): A temperatura média de ativação é igual a 57°C.
    H0: mu = 57°C
  • Hipótese alternativa ( HA): A temperatura média de ativação é maior que 57°C.
    HA: mu > 57°C

Passo 3

Agora, vamos identificar os dados que temos:
  • Média da amostra ( barx): 56,5°C
  • Desvio padrão populacional ( sigma): 0,95°C
  • Tamanho da amostra ( n): 32
  • Nível de significância ( alpha): 10% ou 0,10
Como o desvio padrão populacional é conhecido e a amostra é maior que 30, vamos usar o teste z para uma média.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste estatístico z usando a fórmula:
z = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • barx = média da amostra = 56,5°C
  • mu0 = média segundo a hipótese nula = 57°C
  • sigma = desvio padrão populacional = 0,95°C
  • n = tamanho da amostra = 32
Substituindo os valores:
z = 56,5 - 570,95raiz32 = -0,50,955,6568 approx -0,50,1677 approx -2,98

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor crítico para o teste. Como é um teste unilateral (queremos saber se a média é maior que 57°C) e o nível de significância é de 10% ( alpha = 0,10), buscamos o valor crítico zalpha que deixa 10% na cauda direita da distribuição normal.
Consultando a tabela z, encontramos que z0,10 approx 1,28.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de z com o valor crítico:
  • Valor calculado: z approx -2,98
  • Valor crítico: z0,10 approx 1,28
Como -2,98 < 1,28, não estamos na região de rejeição.

Resposta

Não rejeitamos a hipótese nula. Não há evidências suficientes para afirmar que a temperatura média de ativação é superior a 57°C no nível de significância de 10%.

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