De quantas maneiras diferentes um casal com 3 filhos pode ocupar o sofá com 5 lugares de modo que o casal fique sempre junto?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre arranjos, que é um tema de combinatória. Precisamos descobrir de quantas maneiras diferentes um casal com 3 filhos pode sentar em um sofá com 5 lugares, garantindo que os pais fiquem sempre juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nos pais como se fossem uma única “unidade” porque eles precisam ficar juntos. Assim, além dessa “unidade”, temos os 3 filhos, totalizando 4 “elementos” para arranjar no sofá.

Passo 3

Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos posicionar essa “unidade” dos pais no sofá. Como o sofá tem 5 lugares, e os pais ocupam 2 lugares juntos, as possíveis posições para os pais são:
  • Lugares 1 e 2
  • Lugares 2 e 3
  • Lugares 3 e 4
  • Lugares 4 e 5
Então, temos 4 opções para posicionar os pais.

Passo 4

Dentro dessa “unidade” dos pais, eles podem trocar de lugar entre si. Ou seja, o pai pode sentar à esquerda ou à direita. Isso nos dá 2 maneiras diferentes de arranjar os pais.

Passo 5

Agora, precisamos arranjar os 3 filhos nos 3 lugares restantes. O número de maneiras de fazer isso é dado por 3! (3 fatorial), que é igual a 6.

Passo 6

Para encontrar o total de maneiras diferentes, multiplicamos o número de opções para cada etapa:
4 (posições dos pais) times 2 (arranjos dos pais) times 6 (arranjos dos filhos) = 48 çõ

Resposta

Existem 48 maneiras diferentes de o casal com 3 filhos ocupar o sofá com 5 lugares, mantendo os pais sempre juntos.

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