Faça cada um dos itens abaixo: Estude a convergência e a divergência da série p , isto é, para quais valores de p a série sumi=1^infty 1n^p converge e para quais valores de p diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries p! O que ele pede é para a gente descobrir para quais valores de a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série p, que nos ajuda a determinar a convergência de séries desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série p. É uma soma infinita onde cada termo é da forma . O “p” aqui é um número real que influencia se a série vai somar para um número finito (convergir) ou crescer sem limites (divergir).

Passo 3

O Teste da Série p nos diz que:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Esse teste é útil porque simplifica bastante a análise de séries desse tipo, sem precisar calcular a soma de fato.

Passo 4

Vamos aplicar esse teste ao nosso caso:
  • Se escolhermos, por exemplo, , que é maior que 1, a série converge.
  • Se escolhermos , a série é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge.
  • Para , que é menor que 1, a série também diverge.

Resposta

A série converge para todos os valores de maiores que 1 e diverge para valores de menores ou iguais a 1.

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