Faça cada um dos itens abaixo: Estude a convergência e a divergência da série p , isto é, para quais valores de p a série
converge e para quais valores de p diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries p! O que ele pede é para a gente descobrir para quais valores de
a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Série p, que nos ajuda a determinar a convergência de séries desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série p. É uma soma infinita onde cada termo é da forma
. O “p” aqui é um número real que influencia se a série vai somar para um número finito (convergir) ou crescer sem limites (divergir).
Passo 3
O Teste da Série p nos diz que:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Esse teste é útil porque simplifica bastante a análise de séries desse tipo, sem precisar calcular a soma de fato.
Passo 4
Vamos aplicar esse teste ao nosso caso:
- Se escolhermos, por exemplo,
, que é maior que 1, a série converge. - Se escolhermos
, a série é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge. - Para
, que é menor que 1, a série também diverge.
Resposta
A série
converge para todos os valores de
maiores que 1 e diverge para valores de
menores ou iguais a 1.
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