Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a derivada da função
usando a Regra da Cadeia. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas de funções compostas. Para isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia e também conhecer a derivada de funções básicas como a potência e a raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação das regras de derivação. Podemos expressar a raiz quadrada como uma potência fracionária:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do quociente, que diz que a derivada de uma função que é o quociente de duas funções
e
é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Para
, temos uma função composta, então vamos usar a Regra da Cadeia. Primeiro, identifiquemos as partes:
A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Aplicando a Regra da Cadeia:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a regra do quociente usando
,
e
:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 7
Vamos unir os termos do numerador para ter um denominador comum:
Então,
Passo 8
Simplificando o numerador:
Então,
Resposta
A derivada da função é:
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.
;
Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
Faça cada um dos itens abaixo: Estude a convergência e a divergência da série p , isto é, para quais valores de p a série
converge e para quais valores de p diverge.