Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
y = x / raiz(x^2 - 9)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a derivada da função usando a Regra da Cadeia. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas de funções compostas. Para isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia e também conhecer a derivada de funções básicas como a potência e a raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação das regras de derivação. Podemos expressar a raiz quadrada como uma potência fracionária:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do quociente, que diz que a derivada de uma função que é o quociente de duas funções e é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
Para , temos uma função composta, então vamos usar a Regra da Cadeia. Primeiro, identifiquemos as partes:
A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Aplicando a Regra da Cadeia:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra do quociente usando , e :

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Então,

Passo 7

Vamos unir os termos do numerador para ter um denominador comum:
Então,

Passo 8

Simplificando o numerador:
Então,

Resposta

A derivada da função é:

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y = ((x + 1) / (x - 2))^5
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e^y = x + y;
Usando a Regra da Cadeia, calcule a derivada da função dada.
y = cos(x) * sen^4(x)
Faça cada um dos itens abaixo: Estude a convergência e a divergência da série p , isto é, para quais valores de p a série sumi=1^infty 1n^p converge e para quais valores de p diverge.