Faça cada um dos itens abaixo: Estude a convergência da série
e se possível obtenha a soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a série
converge e, se der, encontrar a soma dela. A matéria aqui envolve séries infinitas e, mais especificamente, séries telescópicas. Vamos precisar identificar se essa série é do tipo telescópico e usar isso para analisar a convergência e calcular a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série em que muitos termos se cancelam quando somamos os primeiros N termos. Isso acontece porque cada termo da soma contém uma parte positiva e uma negativa que se anulam com termos subsequentes. Então, a ideia é escrever a soma parcial e ver se conseguimos simplificar.
Passo 3
Vamos escrever a soma parcial dos primeiros N termos da nossa série:
Quando expandimos essa soma, temos:
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece com os termos quando somamos tudo isso. Observa que cada
cancela com
, o
cancela com
, e assim por diante. Basicamente, só ficam sobrando o primeiro termo positivo e o último termo negativo.
Então, a soma parcial fica:
Passo 5
Para encontrar a soma da série infinita, precisamos calcular o limite da soma parcial quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a 0 quando
vai para o infinito. Portanto:
Resposta
A série
converge e a soma dela é
.
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