Faça cada um dos itens abaixo: Estude a convergência da série sumi=1^infty(1raizn+3-1raizn+4) e se possível obtenha a soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a série converge e, se der, encontrar a soma dela. A matéria aqui envolve séries infinitas e, mais especificamente, séries telescópicas. Vamos precisar identificar se essa série é do tipo telescópico e usar isso para analisar a convergência e calcular a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série em que muitos termos se cancelam quando somamos os primeiros N termos. Isso acontece porque cada termo da soma contém uma parte positiva e uma negativa que se anulam com termos subsequentes. Então, a ideia é escrever a soma parcial e ver se conseguimos simplificar.

Passo 3

Vamos escrever a soma parcial dos primeiros N termos da nossa série:
SN = sumn=1^N ( 1raizn+3 - 1raizn+4 )
Quando expandimos essa soma, temos:
SN = ( 1raiz4 - 1raiz5 ) + ( 1raiz5 - 1raiz6 ) + ( 1raiz6 - 1raiz7 ) + dots + ( 1raizN+3 - 1raizN+4 )

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece com os termos quando somamos tudo isso. Observa que cada SN = 1raiz4 - 1raizN+4 cancela com , o cancela com , e assim por diante. Basicamente, só ficam sobrando o primeiro termo positivo e o último termo negativo.
Então, a soma parcial fica:

Passo 5

Para encontrar a soma da série infinita, precisamos calcular o limite da soma parcial quando limN to infty SN = limN to infty ( 1raiz4 - 1raizN+4 ) tende ao infinito:
limN to infty SN = 1raiz4 - 0 = 12
Sabemos que tende a 0 quando vai para o infinito. Portanto:

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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