Faça a demostração das propriedades: A cdot B=B cdot A

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o produto escalar de dois vetores, A cdot B, é igual ao produto escalar na ordem inversa, B cdot A. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre propriedades do produto escalar. Para resolver, vamos usar a definição de produto escalar e manipular as expressões passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Se temos dois vetores A = (Ax, Ay, Az) e B = (Bx, By, Bz), o produto escalar é calculado como:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
Isso significa que multiplicamos os componentes correspondentes dos vetores e somamos os resultados.

Passo 3

Agora, escrevemos o produto escalar na ordem inversa, ou seja, B cdot A:
B cdot A = Bx Ax + By Ay + Bz Az
Observamos que é a mesma expressão, já que a multiplicação dos componentes é comutativa (a ordem dos fatores não altera o produto).

Passo 4

Como podemos ver:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
e
B cdot A = Bx Ax + By Ay + Bz Az
Perceba que Ax Bx = Bx Ax, Ay By = By Ay e Az Bz = Bz Az. Portanto, as duas expressões são iguais.

Resposta

Portanto, demonstramos que A cdot B = B cdot A.

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