Seja T: P2 P2 a transformação linear definida por
T(p(t))=p^prime(t)-2 p(t)
b) Mostre que T é bijectiva, e calcule a matriz que representa T^-1 na mesma base. Conclua que T^-1(q(t))=-12 q(t)-14 q^prime(t)-18 q^prime prime(t), para qualquer q(t) in P2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema! Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa transformação é bijetiva (ou seja, injetora e sobrejetora) e, em seguida, calcular a matriz que representa o inverso de , chamado , na mesma base. Por fim, vamos concluir que para qualquer polinômio em .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se p^prime(t) - 2 p(t) = 0 é injetora. Uma transformação linear é injetora se o núcleo dela contiver apenas o vetor zero.
O núcleo de é o conjunto de todos os polinômios em tais que .
Então, precisamos resolver:

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial:
p^prime(t) = 2 p(t)
A solução geral dessa equação é:
p(t) = C e^2t
onde é uma constante.
No entanto, estamos trabalhando no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, . A única solução polinomial para essa equação é .
Portanto, o núcleo de contém apenas o vetor zero, o que significa que é injetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se todo vetor no espaço de chegada tem uma preimagem em .
Como é uma transformação linear de um espaço de dimensão 3 (já que tem dimensão 3) para outro espaço de dimensão 3, e já mostramos que é injetora, isso implica, pelo Teorema da Dimensão, que também é sobrejetora.
Portanto, é bijetiva.

Passo 5

Agora que estabelecemos que B = 1, t, t^2 é bijetiva, podemos encontrar sua matriz inversa na mesma base. Vamos usar a base padrão para :
Primeiro, precisamos encontrar a matriz de , .
Vamos aplicar a cada um dos vetores da base.

Passo 6

Aplicando T(1) = (1)' - 2 cdot 1 = 0 - 2 = -2 a -2 = -2 cdot 1 + 0 cdot t + 0 cdot t^2 :
Expressando em termos da base :
Então, as coordenadas são .

Passo 7

Aplicando T(t) = (t)' - 2 cdot t = 1 - 2t a 1 - 2t = 1 cdot 1 - 2 cdot t + 0 cdot t^2 :
Expressando em termos da base :
Então, as coordenadas são .

Passo 8

Aplicando T(t^2) = (t^2)' - 2 cdot t^2 = 2t - 2t^2 a 2t - 2t^2 = 0 cdot 1 + 2 cdot t - 2 cdot t^2 :
Expressando em termos da base :
Então, as coordenadas são .

Passo 9

Agora, podemos montar a matriz de [T]B = -2 & 1 & 0 0 & -2 & 2 0 & 0 & -2 usando essas coordenadas como colunas:

Passo 10

Para encontrar det([T]B) = (-2) cdot (-2) cdot (-2) = -8 neq 0 , precisamos inverter a matriz .
Calculando o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 11

Calculando a inversa de [T^-1]B = 1-8 (-2)(-2) - 0 cdot 2 & 0 cdot 0 - (-2) cdot 2 & (-2) cdot 2 - 1 cdot 0 0 cdot (-2) - 0 cdot 2 & (-2)(-2) - 0 cdot 0 & 1 cdot 0 - (-2) cdot 0 0 cdot 2 - (-2) cdot (-2) & 0 cdot 0 - 0 cdot (-2) & (-2)(-2) - 1 cdot 0 :
[T^-1]B = 1-8 4 & 4 & -4 0 & 4 & 0 -4 & 0 & 4 = -0.5 & -0.5 & 0.5 0 & -0.5 & 0 0.5 & 0 & -0.5
Simplificando:

Passo 12

Agora, para concluir que:
T^-1(q(t)) = -12 q(t) - 14 q^prime(t) - 18 q^prime prime(t)
Podemos observar que a expressão obtida para corresponde aos coeficientes na combinação linear dos termos , e .

Resposta

Portanto, mostramos que [T^-1]B = -0.5 & -0.5 & 0.5 0 & -0.5 & 0 0.5 & 0 & -0.5 é bijetiva e que a matriz que representa T^-1(q(t)) = -12 q(t) - 14 q^prime(t) - 18 q^prime prime(t) na base padrão é:
E concluímos que para qualquer em :

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