b) Mostre que é bijectiva, e calcule a matriz que representa na mesma base. Conclua que , para qualquer .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema! Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa transformação é bijetiva (ou seja, injetora e sobrejetora) e, em seguida, calcular a matriz que representa o inverso de , chamado , na mesma base. Por fim, vamos concluir que para qualquer polinômio em .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é injetora. Uma transformação linear é injetora se o núcleo dela contiver apenas o vetor zero.
O núcleo de é o conjunto de todos os polinômios em tais que .
Então, precisamos resolver:
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial:
A solução geral dessa equação é:
onde é uma constante.
No entanto, estamos trabalhando no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, . A única solução polinomial para essa equação é .
Portanto, o núcleo de contém apenas o vetor zero, o que significa que é injetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se todo vetor no espaço de chegada tem uma preimagem em .
Como é uma transformação linear de um espaço de dimensão 3 (já que tem dimensão 3) para outro espaço de dimensão 3, e já mostramos que é injetora, isso implica, pelo Teorema da Dimensão, que também é sobrejetora.
Portanto, é bijetiva.
Passo 5
Agora que estabelecemos que é bijetiva, podemos encontrar sua matriz inversa na mesma base. Vamos usar a base padrão para :
Primeiro, precisamos encontrar a matriz de , .
Vamos aplicar a cada um dos vetores da base.
Passo 6
Aplicando a :
Expressando em termos da base :
Então, as coordenadas são .
Passo 7
Aplicando a :
Expressando em termos da base :
Então, as coordenadas são .
Passo 8
Aplicando a :
Expressando em termos da base :
Então, as coordenadas são .
Passo 9
Agora, podemos montar a matriz de usando essas coordenadas como colunas:
Passo 10
Para encontrar det([T]B) = (-2) cdot (-2) cdot (-2) = -8 neq 0 , precisamos inverter a matriz .
Calculando o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.
Podemos observar que a expressão obtida para corresponde aos coeficientes na combinação linear dos termos , e .
Resposta
Portanto, mostramos que [T^-1]B = -0.5 & -0.5 & 0.5 0 & -0.5 & 0 0.5 & 0 & -0.5 é bijetiva e que a matriz que representa T^-1(q(t)) = -12 q(t) - 14 q^prime(t) - 18 q^prime prime(t) na base padrão é: