Responda, justificando, falso ou verdadeiro a cada uma das seguintes afirmações:
Se
e
são vetores no espaço, com
não nulo e
, então
.
Se
Passo 1
Então, a gente tem uma afirmação que diz: “Se
,
e
são vetores no espaço, com
não nulo e
, então
.” Vamos analisar isso usando conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores, como
, resulta em um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais e cujo módulo é igual à área do paralelogramo formado por eles. Se
, isso implica que os vetores resultantes dos produtos vetoriais são iguais.
Passo 3
Para avançar, vamos subtrair os dois lados da equação:
. Podemos fatorar
dessa expressão:
.
Passo 4
A equação
nos diz que o produto vetorial entre
e
é o vetor nulo. Isso acontece se, e somente se,
for paralelo a
. Ou seja,
, onde
é um escalar qualquer.
Passo 5
Dessa forma, concluímos que
. Isso significa que
e
são iguais apenas se
. Mas o exercício não nos dá informação suficiente para afirmar que
. Portanto,
pode ser diferente de
, mantendo a condição inicial.
Resposta
Falso. A condição dada não garante que
seja igual a
.