Faça a demostração das propriedades:
  1. A cdot B=sumi ai bi

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para demonstrar que o produto escalar de dois vetores, A cdot B, é igual à soma dos produtos de suas componentes, ou seja, sumi ai bi. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o produto escalar e como ele se relaciona com as componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor A em um espaço n-dimensional pode ser representado por suas componentes: A = (a1, a2, dots, an). Da mesma forma, outro vetor B = (b1, b2, dots, bn).

Passo 3

O produto escalar, ou produto interno, de dois vetores é uma operação que retorna um número real. Matematicamente, é definido como:
A cdot B = |A| |B| cos(theta)
onde |A| e |B| são as magnitudes dos vetores e theta é o ângulo entre eles.

Passo 4

Por outro lado, se considerarmos os vetores em termos de suas componentes, o produto escalar pode ser calculado multiplicando cada par de componentes correspondentes e somando esses produtos:
A cdot B = a1 b1 + a2 b2 + dots + an bn = sumi=1^n ai bi

Passo 5

Para demonstrar que as duas definições são equivalentes, consideremos a expansão do produto das magnitudes dos vetores:
|A| = raiza1^2 + a2^2 + dots + an^2
|B| = raizb1^2 + b2^2 + dots + bn^2

Passo 6

Substituindo essas expressões na definição do produto escalar:
A cdot B = raiza1^2 + a2^2 + dots + an^2 cdot raizb1^2 + b2^2 + dots + bn^2 cdot cos(theta)

Passo 7

Para que essa expressão seja igual à soma dos produtos das componentes, sumi ai bi, o ângulo theta deve ser tal que:
cos(theta) = sumi ai bi|A| |B|
Isso confirma que as duas definições do produto escalar são equivalentes.

Resposta

Demonstramos que A cdot B = sumi ai bi, confirmando que o produto escalar é igual à soma dos produtos das componentes dos vetores.

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