Faça a demostração das propriedades:
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Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para demonstrar que o produto escalar de dois vetores,
, é igual à soma dos produtos de suas componentes, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o produto escalar e como ele se relaciona com as componentes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um vetor
em um espaço n-dimensional pode ser representado por suas componentes:
. Da mesma forma, outro vetor
.
Passo 3
O produto escalar, ou produto interno, de dois vetores é uma operação que retorna um número real. Matematicamente, é definido como:
onde
e
são as magnitudes dos vetores e
é o ângulo entre eles.
Passo 4
Por outro lado, se considerarmos os vetores em termos de suas componentes, o produto escalar pode ser calculado multiplicando cada par de componentes correspondentes e somando esses produtos:
Passo 5
Para demonstrar que as duas definições são equivalentes, consideremos a expansão do produto das magnitudes dos vetores:
Passo 6
Substituindo essas expressões na definição do produto escalar:
Passo 7
Para que essa expressão seja igual à soma dos produtos das componentes,
, o ângulo
deve ser tal que:
Isso confirma que as duas definições do produto escalar são equivalentes.
Resposta
Demonstramos que
, confirmando que o produto escalar é igual à soma dos produtos das componentes dos vetores.