Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar o Teste da Integral e descobrir se a série converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série específica.

Passo 2

Primeiro, o Teste da Integral nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral correspondente converge, então a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge. Para usar esse teste, a função deve ser positiva, contínua e decrescente para , onde é algum número natural.

Passo 3

Vamos identificar nossa função . No caso da série , podemos associar cada termo à função contínua . Precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para .

Passo 4

Observamos que é positiva para todo , porque tanto quanto são positivos. A função é contínua para todo e decrescente para , já que à medida que aumenta, diminui mais rápido que cresce. Portanto, todas as condições do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral . Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja , então ou . A integral se transforma em:
Com , os limites de integração mudam para quando e quando . A integral fica:

Passo 6

Como a integral converge para , pelo Teste da Integral, a série também converge.

Resposta

A série é convergente pelo Teste da Integral.

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