Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar o Teste da Integral e descobrir se a série
converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série específica.
Passo 2
Primeiro, o Teste da Integral nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral correspondente converge, então a série também converge; se a integral diverge, a série também diverge. Para usar esse teste, a função
deve ser positiva, contínua e decrescente para
, onde
é algum número natural.
Passo 3
Vamos identificar nossa função
. No caso da série
, podemos associar cada termo
à função contínua
. Precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para
.
Passo 4
Observamos que
é positiva para todo
, porque tanto
quanto
são positivos. A função é contínua para todo
e decrescente para
, já que à medida que
aumenta,
diminui mais rápido que
cresce. Portanto, todas as condições do Teste da Integral estão satisfeitas.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
ou
. A integral se transforma em:
Com
, os limites de integração mudam para
quando
e
quando
. A integral fica:
Passo 6
Como a integral
converge para
, pelo Teste da Integral, a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente pelo Teste da Integral.
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no conjunto
, onde
Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
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