Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos
e
. Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem dois conjuntos:
e
. O exercício pede para a gente fazer um diagrama de Venn que mostra a relação entre esses conjuntos. Além disso, precisamos verificar se essa relação é uma função. Se for, descobrir se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva e também determinar o conjunto imagem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função, e as propriedades de ser injetiva, sobrejetiva e bijetiva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um diagrama de Venn. É uma representação gráfica que mostra todas as possíveis relações lógicas entre um conjunto finito de diferentes conjuntos. No nosso caso, vamos desenhar dois círculos, um para
e outro para
, e conectar os elementos conforme a relação dada.
Passo 3
Agora, vamos analisar a relação dada:
,
,
,
,
. Uma coisa que já chama atenção é que
está sendo definido duas vezes: uma vez para
e outra para
. Isso é importante porque, para que uma relação seja uma função, cada elemento de
deve estar relacionado a apenas um elemento de
.
Passo 4
Vamos verificar se essa relação é uma função. Conforme vimos, a regra de função diz que cada elemento do conjunto de partida (
) deve estar relacionado a no máximo um elemento do conjunto de chegada (
). No caso,
e
. Isso significa que o elemento
de
está relacionado a dois elementos diferentes de
, o que não satisfaz a definição de função.
Passo 5
Como identificamos que a relação não é uma função, não precisamos prosseguir para verificar se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, nem determinar o conjunto imagem. Essas propriedades só aplicam-se quando estamos lidando com uma função.
Resposta
A relação apresentada não define uma função, pois o elemento
do conjunto
está relacionado a dois elementos diferentes de
(
e
), violando a definição de função que exige que cada elemento do domínio esteja relacionado a apenas um elemento do contradomínio.
Exercícios relacionados
Faça o que se pede:
Quanto vale ?
Quanto vale
Faça o gráfico das funções abaixo
Qual é a lei das seguintes funções de
em
?
associa cada número real ao seu cubo.
Seja
a função de
em
definida por
. Calcule: