Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos
e
. Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos fazer um diagrama de Venn para a relação dada entre os conjuntos
e
. Além disso, devemos verificar se essa relação define uma função e, se sim, determinar se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e encontrar o conjunto imagem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções, injetividade, sobrejetividade e bijetividade, além de saber como representar relações em um diagrama de Venn.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função é uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do conjunto de partida (domínio) está relacionado a exatamente um elemento do conjunto de chegada (contradomínio). No nosso caso, o conjunto A é o domínio e o conjunto B é o contradomínio.
Passo 3
Com base na relação dada:
Cada elemento de
está relacionado a exatamente um elemento de
. Isso confirma que estamos lidando com uma função.
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa função é injetiva. Uma função é injetiva se elementos diferentes de
são mapeados para elementos diferentes de
. Observando:
Todos os elementos de
são mapeados para elementos distintos de
. Portanto, a função é injetiva.
Passo 5
Em seguida, vamos verificar a sobrejetividade. Uma função é sobrejetiva se todo elemento do contradomínio
é imagem de pelo menos um elemento de
. Como
e na nossa função apenas
são atingidos, os elementos
e
não são imagens de nenhum elemento de
. Assim, a função não é sobrejetiva.
Passo 6
Como a função é injetiva mas não sobrejetiva, ela não é bijetiva. Bijetiva é quando a função é tanto injetiva quanto sobrejetiva, o que não é o caso aqui.
Passo 7
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função. O conjunto imagem é formado pelos elementos de
que são imagens dos elementos de
. Com base na nossa função:
Resposta
A relação define uma função injetiva. O conjunto imagem é
.
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