Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos e . Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos fazer um diagrama de Venn para a relação dada entre os conjuntos e . Além disso, devemos verificar se essa relação define uma função e, se sim, determinar se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e encontrar o conjunto imagem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções, injetividade, sobrejetividade e bijetividade, além de saber como representar relações em um diagrama de Venn.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função é uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do conjunto de partida (domínio) está relacionado a exatamente um elemento do conjunto de chegada (contradomínio). No nosso caso, o conjunto A é o domínio e o conjunto B é o contradomínio.

Passo 3

Com base na relação dada:
Cada elemento de está relacionado a exatamente um elemento de . Isso confirma que estamos lidando com uma função.

Passo 4

Agora, vamos verificar se essa função é injetiva. Uma função é injetiva se elementos diferentes de são mapeados para elementos diferentes de . Observando:
Todos os elementos de são mapeados para elementos distintos de . Portanto, a função é injetiva.

Passo 5

Em seguida, vamos verificar a sobrejetividade. Uma função é sobrejetiva se todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento de . Como e na nossa função apenas são atingidos, os elementos e não são imagens de nenhum elemento de . Assim, a função não é sobrejetiva.

Passo 6

Como a função é injetiva mas não sobrejetiva, ela não é bijetiva. Bijetiva é quando a função é tanto injetiva quanto sobrejetiva, o que não é o caso aqui.

Passo 7

Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função. O conjunto imagem é formado pelos elementos de que são imagens dos elementos de . Com base na nossa função:

Resposta

A relação define uma função injetiva. O conjunto imagem é .

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