Faça um esboço do campo vetorial dado:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer um esboço do campo vetorial dado por
. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como esses vetores se comportam em diferentes pontos do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
representa. Aqui, cada ponto
no plano tem associado um vetor
que tem componente
na direção horizontal e
na direção vertical. Isso significa que o vetor sempre aponta na direção oposta ao eixo
e não tem componente no eixo
.
Passo 3
Vamos analisar alguns pontos específicos para ter uma ideia de como os vetores se comportam:
- No ponto
, o vetor será . - No ponto
, o vetor será . - No ponto
, o vetor será . - No ponto
, o vetor será . - No ponto
, o vetor será .
Passo 4
Observamos que, independentemente do valor de
, o vetor só depende de
. Isso significa que para qualquer ponto na mesma vertical (mesmo valor de
), o vetor terá a mesma direção e magnitude. Além disso, quando
é positivo, o vetor aponta para a esquerda (negativo no eixo
), e quando
é negativo, aponta para a direita (positivo no eixo
).
Passo 5
Para esboçar o campo vetorial, vamos desenhar alguns vetores em pontos diferentes:
- No eixo
, onde , os vetores serão , ou seja, nenhum vetor aparece. - Para
, os vetores apontam para a esquerda com comprimento proporcional a . - Para
, apontam para a direita, também com comprimento proporcional a .
Passo 6
Desenhando esse comportamento no plano cartesiano, veremos que os vetores formam um padrão uniforme, todos alinhados horizontalmente, apontando para o lado esquerdo ou direito dependendo do sinal de
. Não há variação na direção vertical já que a componente
do vetor é sempre zero.
Resposta
O esboço do campo vetorial
consiste em vetores horizontais que apontam para a esquerda quando
é positivo, para a direita quando
é negativo, e nenhum vetor no eixo
. O comprimento dos vetores aumenta proporcionalmente ao valor absoluto de
.
Exercícios relacionados
Faça um esboço do campo vetorial dado:
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Vamos admitir um objeto com massa
localizado na origem do
. Seja
o vetor posição de um outro objeto de massa
. A Lei de Gravitação de Newton nos dá que a força gravitacional agindo no objeto de massa
em
é
onde
é a constante gravitacional.
Temos que é um campo vetorial tridimensional (campo de forças) chamado de campo gravitacional. Mostre que o campo gravitacional
é conservativo e exiba sua função potencial.
Temos que