Faça um esboço do campo vetorial dado:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer um esboço do campo vetorial dado por . Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como esses vetores se comportam em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Aqui, cada ponto no plano tem associado um vetor que tem componente na direção horizontal e na direção vertical. Isso significa que o vetor sempre aponta na direção oposta ao eixo e não tem componente no eixo .

Passo 3

Vamos analisar alguns pontos específicos para ter uma ideia de como os vetores se comportam:
  • No ponto , o vetor será .
  • No ponto , o vetor será .
  • No ponto , o vetor será .
  • No ponto , o vetor será .
  • No ponto , o vetor será .

Passo 4

Observamos que, independentemente do valor de , o vetor só depende de . Isso significa que para qualquer ponto na mesma vertical (mesmo valor de ), o vetor terá a mesma direção e magnitude. Além disso, quando é positivo, o vetor aponta para a esquerda (negativo no eixo ), e quando é negativo, aponta para a direita (positivo no eixo ).

Passo 5

Para esboçar o campo vetorial, vamos desenhar alguns vetores em pontos diferentes:
  • No eixo , onde , os vetores serão , ou seja, nenhum vetor aparece.
  • Para , os vetores apontam para a esquerda com comprimento proporcional a .
  • Para , apontam para a direita, também com comprimento proporcional a .

Passo 6

Desenhando esse comportamento no plano cartesiano, veremos que os vetores formam um padrão uniforme, todos alinhados horizontalmente, apontando para o lado esquerdo ou direito dependendo do sinal de . Não há variação na direção vertical já que a componente do vetor é sempre zero.

Resposta

O esboço do campo vetorial consiste em vetores horizontais que apontam para a esquerda quando é positivo, para a direita quando é negativo, e nenhum vetor no eixo . O comprimento dos vetores aumenta proporcionalmente ao valor absoluto de .

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Temos que é um campo vetorial tridimensional (campo de forças) chamado de campo gravitacional. Mostre que o campo gravitacional é conservativo e exiba sua função potencial.