Faça um esboço das curvas de nível de f para os valores de k dados
f(x, y) = x * y em k = 0, 1, -1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa fazer um esboço das curvas de nível da função para os valores de . Isso envolve entender como a função se comporta para esses valores e desenhar as curvas que representam onde a função assume esses valores específicos. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como elas são usadas para visualizar funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis para um valor específico é o conjunto de pontos que satisfazem a equação . Ou seja, é onde a função tem o valor constante .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Para cada valor de , vamos resolver a equação para encontrar a relação entre e que define a curva de nível.

Passo 4

Começando com :
Isso significa que ou ou . Então, as curvas de nível para são os eixos e .

Passo 5

Agora, para :
Podemos rearranjar essa equação para . Essa é a equação de uma hipérbole. Então, a curva de nível para é uma hipérbole com os ramos nos quadrantes I e III.

Passo 6

Por último, para :
Rearranjando, temos . Essa também é uma hipérbole, mas seus ramos estão nos quadrantes II e IV.

Resposta

As curvas de nível da função são:
  • Para : os eixos e .
  • Para : a hipérbole nos quadrantes I e III.
  • Para : a hipérbole nos quadrantes II e IV.

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