Faça um esboço das curvas de nível de
para os valores de
dados
em
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa fazer um esboço das curvas de nível da função
para os valores de
. Isso envolve entender como a função se comporta para esses valores e desenhar as curvas que representam onde a função assume esses valores específicos. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são curvas de nível e como elas são usadas para visualizar funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis
para um valor específico
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. Ou seja, é onde a função tem o valor constante
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Para cada valor de
, vamos resolver a equação
para encontrar a relação entre
e
que define a curva de nível.
Passo 4
Começando com
:
Isso significa que ou
ou
. Então, as curvas de nível para
são os eixos
e
.
Passo 5
Agora, para
:
Podemos rearranjar essa equação para
. Essa é a equação de uma hipérbole. Então, a curva de nível para
é uma hipérbole com os ramos nos quadrantes I e III.
Passo 6
Por último, para
:
Rearranjando, temos
. Essa também é uma hipérbole, mas seus ramos estão nos quadrantes II e IV.
Resposta
As curvas de nível da função
são:
- Para
: os eixos e . - Para
: a hipérbole nos quadrantes I e III. - Para
: a hipérbole nos quadrantes II e IV.