Faça um esboço dos gráficos das seguintes funções
f(x, y) = 4 * x^2 - 4 * y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer fazer um esboço do gráfico da função . Essa questão está relacionada a geometria analítica de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o formato geral da função e como ela se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície estamos lidando. A função é uma superfície quadrática, mais especificamente um paraboloide hiperbólico. Isso acontece porque os termos de e têm sinais opostos.

Passo 3

Vamos analisar os interceptos. Quando :
Isso nos dá uma parábola que abre para baixo no eixo y.
Quando :
Aqui temos uma parábola que abre para cima no eixo x.

Passo 4

Agora, vamos considerar as seções transversais da superfície. Se fixarmos , teremos diferentes curvas dependendo do valor de :
  • Para : é uma hipérbole.
  • Para : , que simplifica para .
  • Para : também é uma hipérbole, mas com orientação invertida.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos agora esboçar o gráfico:
  • O eixo z intercepta a superfície no ponto .
  • As parábolas no plano xz e yz mostram a natureza de sela da superfície.
  • As hipérboles nas seções transversais confirmam que é um paraboloide hiperbólico.

Resposta

O gráfico da função é um paraboloide hiperbólico, caracterizado por uma superfície de sela. As seções nos planos xz e yz são parábolas que abrem em direções opostas, e as seções horizontais são hipérboles, confirmando a natureza do esboço.

Exercícios relacionados