Faça um esboço dos gráficos das seguintes funções
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer fazer um esboço do gráfico da função
. Essa questão está relacionada a geometria analítica de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o formato geral da função e como ela se comporta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície estamos lidando. A função
é uma superfície quadrática, mais especificamente um paraboloide hiperbólico. Isso acontece porque os termos de
e
têm sinais opostos.
Passo 3
Vamos analisar os interceptos. Quando
:
Isso nos dá uma parábola que abre para baixo no eixo y.
Quando
:
Aqui temos uma parábola que abre para cima no eixo x.
Passo 4
Agora, vamos considerar as seções transversais da superfície. Se fixarmos
, teremos diferentes curvas dependendo do valor de
:
- Para
: é uma hipérbole. - Para
: , que simplifica para . - Para
: também é uma hipérbole, mas com orientação invertida.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos agora esboçar o gráfico:
- O eixo z intercepta a superfície no ponto
. - As parábolas no plano xz e yz mostram a natureza de sela da superfície.
- As hipérboles nas seções transversais confirmam que é um paraboloide hiperbólico.
Resposta
O gráfico da função
é um paraboloide hiperbólico, caracterizado por uma superfície de sela. As seções nos planos xz e yz são parábolas que abrem em direções opostas, e as seções horizontais são hipérboles, confirmando a natureza do esboço.