Faça um esboço do gráfico da função dada e encontre, se existir, cada um dos limites e ; se não existir, indique a razão disto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função e o ponto . Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função e encontrar os limites laterais , e o limite geral . Para isso, vamos usar conceitos de funções absolutas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . A parte é uma função absoluta, que transforma qualquer expressão dentro dela em um valor positivo. Isso significa que, dependendo do valor de , pode ser positivo ou negativo, mas o valor absoluto sempre será não negativo.
Passo 3
Vamos identificar o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto é zero, ou seja, onde . Resolvendo essa equação:
Esse é o ponto crítico onde a função pode ter uma “quebra” no gráfico.
Passo 4
Agora, vamos dividir a função em duas partes, dependendo de ser maior ou menor que :
Para :
Então, .
Para :
Então, .
Passo 5
Com isso, podemos desenhar o gráfico da função:
Para , a função é uma reta com inclinação positiva e intercepto em .
Para , a função é uma reta com inclinação negativa e intercepto em .
No ponto , as duas retas se encontram:
Passo 6
Agora, vamos calcular os limites laterais.
Limite pela direita ():
Usamos a função para :
Limite pela esquerda ():
Usamos a função para :
Passo 7
Como os limites laterais são iguais, podemos concluir que o limite geral existe e é igual a ambos os limites laterais.
Resposta
O limite é , o limite é e o limite geral também é .