Faça um esboço do gráfico da função f dada e encontre, se existir, cada um dos limites lim x a^+ f(x), lim x a^- f(x) e lim x a f(x); se não existir, indique a razão disto.
a=32 ; f(x)=|2 x-3|-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função e o ponto . Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função e encontrar os limites laterais , e o limite geral . Para isso, vamos usar conceitos de funções absolutas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . A parte é uma função absoluta, que transforma qualquer expressão dentro dela em um valor positivo. Isso significa que, dependendo do valor de , pode ser positivo ou negativo, mas o valor absoluto sempre será não negativo.

Passo 3

Vamos identificar o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto é zero, ou seja, onde 2x - 3 = 0 implies 2x = 3 implies x = 32 . Resolvendo essa equação:
Esse é o ponto crítico onde a função pode ter uma “quebra” no gráfico.

Passo 4

Agora, vamos dividir a função em duas partes, dependendo de |2x - 3| = 2x - 3 ser maior ou menor que |2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3 :
  1. Para :
    Então, .
  2. Para :
    Então, .

Passo 5

Com isso, podemos desenhar o gráfico da função:
  • Para f(32) = |2 cdot 32 - 3| - 4 = |3 - 3| - 4 = 0 - 4 = -4 , a função é uma reta com inclinação positiva e intercepto em .
  • Para , a função é uma reta com inclinação negativa e intercepto em .
No ponto , as duas retas se encontram:

Passo 6

Agora, vamos calcular os limites laterais.
Limite pela direita ( limx 32^+ f(x) = limx 32 (2x - 7) = 2 cdot 32 - 7 = 3 - 7 = -4 ):
Usamos a função para limx 32^- f(x) = limx 32 (-2x - 1) = -2 cdot 32 - 1 = -3 - 1 = -4 :
Limite pela esquerda ( ):
Usamos a função para :

Passo 7

Como os limites laterais são iguais, podemos concluir que o limite geral existe e é igual a ambos os limites laterais.

Resposta

O limite é , o limite é e o limite geral também é .

Exercícios relacionados

seja f(x, y) = e^(x^2 - y).
(a) Calcule f(2, 4);
Faça um esboço do gráfico da função f dada e encontre, se existir, cada um dos limites lim x a^+ f(x), lim x a^- f(x) e lim x a f(x); se não existir, indique a razão disto.
(a) a=1 ; f(x)= 2 & se x<1 -1 & se x=1 -3 & se x>1
seja f(x, y) = e^(x^2 - y).
© Determine a imagem de f.
Encontre o limite lateral.
lim x 0^+ x^2-3x^3+x^2