Faça um esboço do gráfico de uma função
que passa pelos pontos
e
. Suponha que
.
se
;
se
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar o que precisamos para resolver. Temos uma função
que passa por três pontos:
,
e
, onde
. Além disso, temos informações sobre as derivadas primeira e segunda da função nesses pontos e ao redor deles. Para esboçar o gráfico dessa função, vamos precisar entender conceitos de derivadas, como derivada primeira (
) que nos dá a inclinação da tangente à curva, e derivada segunda (
) que nos informa sobre a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, observamos que
e
. Isso significa que nos pontos
e
, a inclinação da tangente é zero, o que indica que esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos locais.
Passo 3
Agora, analisamos o comportamento da derivada primeira em torno do ponto
. Sabemos que:
Isso significa que à medida que nos aproximamos de
por ambos os lados, a inclinação da tangente se torna extremamente negativa, indicando um comportamento vertical na derivada, como uma assíntota vertical ou uma cuspide.
Passo 4
Analisando a derivada segunda:
- Para
, , o que quer dizer que a função é côncava para baixo nessa região. - Para
, , o que indica que a função é côncava para cima nessa área.
Isso nos ajuda a entender a forma geral da curva antes e depois de
.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
- Em
, temos um ponto onde a inclinação é zero. Como a concavidade para baixo, este ponto provavelmente é um máximo local. - Próximo a
, a derivada se aproxima de por ambos os lados, sugerindo uma verticalização ou uma cuspide na curva. - Em
, novamente temos uma inclinação zero. Com a concavidade para cima, este ponto é provavelmente um mínimo local.
Resposta
O esboço do gráfico da função
mostra um máximo local em
, uma cuspide ou ponto de descontinuidade na derivada em
, e um mínimo local em
. A curva é côncava para baixo antes de
e côncava para cima após
, refletindo as informações dadas sobre as derivadas primeira e segunda.