Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos (c, f(c)),(d, f(d)) e (e, f(e)). Suponha que c. f^prime(c)=0 ; lim x d^+ f^prime(x)=-infty ; lim x d^- f^prime(x)=-infty ; f^prime(e)=0 ; f^prime prime(x)<0 se x; f^prime prime(x)>0 se x>d

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o que precisamos para resolver. Temos uma função que passa por três pontos: , e , onde . Além disso, temos informações sobre as derivadas primeira e segunda da função nesses pontos e ao redor deles. Para esboçar o gráfico dessa função, vamos precisar entender conceitos de derivadas, como derivada primeira ( ) que nos dá a inclinação da tangente à curva, e derivada segunda ( ) que nos informa sobre a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, observamos que e . Isso significa que nos pontos e , a inclinação da tangente é zero, o que indica que esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos locais.

Passo 3

Agora, analisamos o comportamento da derivada primeira em torno do ponto limx to d^+ f'(x) = -infty e limx to d^- f'(x) = -infty . Sabemos que:
Isso significa que à medida que nos aproximamos de por ambos os lados, a inclinação da tangente se torna extremamente negativa, indicando um comportamento vertical na derivada, como uma assíntota vertical ou uma cuspide.

Passo 4

Analisando a derivada segunda:
  • Para , , o que quer dizer que a função é côncava para baixo nessa região.
  • Para , , o que indica que a função é côncava para cima nessa área.
Isso nos ajuda a entender a forma geral da curva antes e depois de .

Passo 5

Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
  1. Em , temos um ponto onde a inclinação é zero. Como a concavidade para baixo, este ponto provavelmente é um máximo local.
  2. Próximo a , a derivada se aproxima de por ambos os lados, sugerindo uma verticalização ou uma cuspide na curva.
  3. Em , novamente temos uma inclinação zero. Com a concavidade para cima, este ponto é provavelmente um mínimo local.

Resposta

O esboço do gráfico da função mostra um máximo local em , uma cuspide ou ponto de descontinuidade na derivada em , e um mínimo local em . A curva é côncava para baixo antes de e côncava para cima após , refletindo as informações dadas sobre as derivadas primeira e segunda.

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