Mostre que a x = A cos(ω t + α) onde A, omega, alpha são constantes, satisfaz a equação d^2x/dt^2 + omega^2 x = 0 ou mostre que d^2x/dt^2 = -ω^2 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a função satisfaz a equação diferencial ou, equivalentemente, que . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar calcular a segunda derivada de em relação ao tempo e substituir na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar:
Aqui, , e são constantes.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
Lembrando que a derivada de em relação a é .

Passo 4

Aplicando a regra de derivação:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Novamente, usando a regra de derivação para :

Passo 6

Derivando:

Passo 7

Agora, vamos substituir na equação diferencial dada:
Substituindo :

Resposta

Portanto, mostramos que:
Ou seja, a função satisfaz a equação diferencial .

Exercícios relacionados