Faça o esboço do gráfico das funções abaixo.
f(x) = x^2 / (x^2 - 4)

Passo 1

Beleza, você quer fazer o esboço do gráfico da função . Vamos usar conceitos de funções racionais para isso. Precisamos encontrar o domínio, assíntotas, interceptos e o comportamento da função para desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero. Então, vamos resolver:
Então, o domínio é todos os reais menos e .

Passo 3

Agora, vamos achar as assíntotas verticais. São as linhas onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero. Já vimos que e fazem o denominador zero, então temos assíntotas verticais em:

Passo 4

Vamos determinar a assíntota horizontal. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Olhando a função:
Dividindo termos de maior grau, temos:
Então, a assíntota horizontal é:

Passo 5

Vamos achar os interceptos com os eixos. Primeiro, o intercepto com o eixo ocorre quando :
Então, o intercepto com o eixo é .
Para o intercepto com o eixo , colocamos :
Isso só ocorre quando o numerador é zero, ou seja, . Então, o intercepto com o eixo também é .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função perto das assíntotas verticais.
  • Próximo a :
    • Se se aproxima de 2 pela direita, o denominador fica positivo e muito pequeno, então tende a .
    • Se se aproxima de 2 pela esquerda, o denominador fica negativo e muito pequeno, então tende a .
  • Próximo a :
    • Se se aproxima de -2 pela direita, o denominador fica positivo e muito pequeno, então tende a .
    • Se se aproxima de -2 pela esquerda, o denominador fica negativo e muito pequeno, então tende a .

Passo 7

Agora, vamos resumir tudo para fazer o esboço do gráfico:
  • Domínio: ,
  • Assíntotas verticais: e
  • Assíntota horizontal:
  • Interceptos:
  • Comportamento próximo às assíntotas: Conforme descrito no passo anterior

Resposta

O esboço do gráfico da função possui assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , e intercepta os eixos no ponto . O gráfico se aproxima das assíntotas conforme tende a e se aproxima de quando vai para .

Exercícios relacionados

Para cada função abaixo, determine f^n(x), onde
f(x) = (1/x)^2, n = 2.
Sejam f(x) = x^2 - 4*x - 1 e g(x) = x^3 - x^2 - x.
a) Ache os extremos relativos de cada função, pelo teste da derivada primeira.
b) Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem.
c) Determine os intervalos nos quais f é crescente e os intervalos nos quais f é decrescente.
Derive cada um das funções abaixo.
f(x) = ln(x^2 + 2x)
Para cada função abaixo, determine f^n(x), onde
f(x) = x^5 - 2*x^3 + x, n = 2.