Faça o esboço do gráfico das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, você quer fazer o esboço do gráfico da função
. Vamos usar conceitos de funções racionais para isso. Precisamos encontrar o domínio, assíntotas, interceptos e o comportamento da função para desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero. Então, vamos resolver:
Então, o domínio é todos os reais menos
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar as assíntotas verticais. São as linhas onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é zero. Já vimos que
e
fazem o denominador zero, então temos assíntotas verticais em:
Passo 4
Vamos determinar a assíntota horizontal. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Olhando a função:
Dividindo termos de maior grau, temos:
Então, a assíntota horizontal é:
Passo 5
Vamos achar os interceptos com os eixos. Primeiro, o intercepto com o eixo
ocorre quando
:
Então, o intercepto com o eixo
é
.
Para o intercepto com o eixo
, colocamos
:
Isso só ocorre quando o numerador é zero, ou seja,
. Então, o intercepto com o eixo
também é
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função perto das assíntotas verticais.
-
Próximo a
: - Se
se aproxima de 2 pela direita, o denominador fica positivo e muito pequeno, então tende a . - Se
se aproxima de 2 pela esquerda, o denominador fica negativo e muito pequeno, então tende a .
- Se
-
Próximo a
: - Se
se aproxima de -2 pela direita, o denominador fica positivo e muito pequeno, então tende a . - Se
se aproxima de -2 pela esquerda, o denominador fica negativo e muito pequeno, então tende a .
- Se
Passo 7
Agora, vamos resumir tudo para fazer o esboço do gráfico:
- Domínio:
, - Assíntotas verticais:
e - Assíntota horizontal:
- Interceptos:
- Comportamento próximo às assíntotas: Conforme descrito no passo anterior
Resposta
O esboço do gráfico da função
possui assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, e intercepta os eixos no ponto
. O gráfico se aproxima das assíntotas conforme
tende a
e se aproxima de
quando
vai para
.
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo, determine
, onde
.
Sejam
e
.
a) Ache os extremos relativos de cada função, pelo teste da derivada primeira.
b) Determine os valores de nos quais os extremos relativos ocorrem.
c) Determine os intervalos nos quais é crescente e os intervalos nos quais
é decrescente.
a) Ache os extremos relativos de cada função, pelo teste da derivada primeira.
b) Determine os valores de
c) Determine os intervalos nos quais
Derive cada um das funções abaixo.
Para cada função abaixo, determine
, onde
.