Sejam
e
.
a) Ache os extremos relativos de cada função, pelo teste da derivada primeira.
b) Determine os valores de
nos quais os extremos relativos ocorrem.
c) Determine os intervalos nos quais
é crescente e os intervalos nos quais
é decrescente.
a) Ache os extremos relativos de cada função, pelo teste da derivada primeira.
b) Determine os valores de
c) Determine os intervalos nos quais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente derivadas. Precisamos achar os extremos relativos das funções, que são os pontos onde as funções têm máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar o teste da derivada primeira. Também vamos descobrir onde as funções estão crescendo ou decrescendo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos relativos de uma função, a gente precisa encontrar onde a derivada primeira da função é zero ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos.
Então, vamos começar calculando as derivadas das funções
e
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
E a derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
e
.
Para
:
Para
:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos, vamos aplicar o teste da derivada primeira para determinar se cada ponto é um máximo ou mínimo relativo.
Para
no ponto
:
Vamos escolher valores de
à esquerda e à direita de 2, por exemplo,
e
.
- Se
, digamos : - Se
, digamos :
Como a derivada muda de negativa para positiva passando por
, isso indica que
é um mínimo relativo para
.
Para
nos pontos
e
:
Vamos escolher valores próximos a cada ponto para testar.
Primeiro, para
:
- Se
, digamos : - Se
, digamos :
Então,
também é um mínimo relativo para
.
Agora, para
:
- Se
, digamos : - Se
, digamos :
Como a derivada muda de positiva para negativa passando por
, isso indica que
é um máximo relativo para
.
Passo 6
Agora, vamos determinar os valores de
onde esses extremos ocorrem e os tipos de extremos.
Resumo dos pontos encontrados:
- Para
: -
é um mínimo relativo.
-
- Para
: -
é um mínimo relativo. -
é um máximo relativo.
-
Passo 7
Finalmente, vamos determinar os intervalos onde a função
está crescente e decrescente.
Lembrando da derivada
:
- Quando
, a função está crescendo. - Quando
, a função está decrescendo.
Encontramos que
em
.
Então:
- Para
: - Para
:
Resposta
a) Os extremos relativos são:
- Para
: um mínimo relativo em . - Para
: um máximo relativo em e um mínimo relativo em .
b) Os valores de
onde ocorrem os extremos são:
-
para . -
e para .
c) A função
está:
- Decrescente no intervalo
. - Crescente no intervalo
.
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo, determine
, onde
.
Derive cada um das funções abaixo.
Para cada função abaixo, determine
, onde
.
Faça o esboço do gráfico das funções abaixo.