Sejam f(x) = x^2 - 4*x - 1 e g(x) = x^3 - x^2 - x.
a) Ache os extremos relativos de cada função, pelo teste da derivada primeira.
b) Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem.
c) Determine os intervalos nos quais f é crescente e os intervalos nos quais f é decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente derivadas. Precisamos achar os extremos relativos das funções, que são os pontos onde as funções têm máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar o teste da derivada primeira. Também vamos descobrir onde as funções estão crescendo ou decrescendo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos relativos de uma função, a gente precisa encontrar onde a derivada primeira da função é zero ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos.
Então, vamos começar calculando as derivadas das funções e .

Passo 3

Calculando a derivada de :
E a derivada de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde e .
Para :
Para :
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Agora que temos os pontos críticos, vamos aplicar o teste da derivada primeira para determinar se cada ponto é um máximo ou mínimo relativo.
Para no ponto :
Vamos escolher valores de à esquerda e à direita de 2, por exemplo, e .
  • Se , digamos : ãçãá
  • Se , digamos : ãçãá
Como a derivada muda de negativa para positiva passando por , isso indica que é um mínimo relativo para .
Para nos pontos e :
Vamos escolher valores próximos a cada ponto para testar.
Primeiro, para :
  • Se , digamos :
  • Se , digamos :
Então, também é um mínimo relativo para .
Agora, para :
  • Se , digamos :
  • Se , digamos :
Como a derivada muda de positiva para negativa passando por , isso indica que é um máximo relativo para .

Passo 6

Agora, vamos determinar os valores de onde esses extremos ocorrem e os tipos de extremos.
Resumo dos pontos encontrados:
  • Para :
    • é um mínimo relativo.
  • Para :
    • é um mínimo relativo.
    • é um máximo relativo.

Passo 7

Finalmente, vamos determinar os intervalos onde a função está crescente e decrescente.
Lembrando da derivada :
  • Quando , a função está crescendo.
  • Quando , a função está decrescendo.
Encontramos que em .
Então:
  • Para :
  • Para :

Resposta

a) Os extremos relativos são:
  • Para : um mínimo relativo em .
  • Para : um máximo relativo em e um mínimo relativo em .
b) Os valores de onde ocorrem os extremos são:
  • para .
  • e para .
c) A função está:
  • Decrescente no intervalo .
  • Crescente no intervalo .

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Para cada função abaixo, determine f^n(x), onde
f(x) = cos(x), n = 3.
Derive cada um das funções abaixo.
f(x) = raiz(3)(2x)
Para cada função abaixo, determine f^n(x), onde
f(x) = (1/x)^2, n = 2.
Faça o esboço do gráfico das funções abaixo.
f(x) = x^2 / (x^2 - 4)