Faça o esboço do mapa de contorno e do gráfico da função e compare-os.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o esboço do mapa de contorno e do gráfico da função
, e depois comparar os dois. Isso envolve trabalhar com gráficos de funções de duas variáveis e entender como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um mapa de contorno. Um mapa de contorno é um conjunto de curvas no plano
onde a função
tem valores constantes. Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos.
Passo 3
Para criar o mapa de contorno da função
, vamos escolher alguns valores constantes e resolver para
em termos de
.
Por exemplo, se escolhermos
, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é a equação de uma elipse com semi-eixos
e
.
Passo 4
Agora, vamos esboçar algumas elipses para diferentes valores de
. Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
:
Desenhando essas elipses no plano
, percebemos que à medida que
aumenta, as elipses ficam maiores, mas a proporção dos eixos muda devido ao coeficiente de
.
Passo 5
Agora, vamos pensar no gráfico tridimensional da função
. Esse gráfico é uma superfície paraboloide que se abre para cima. Os mapas de contorno que desenhamos são, na verdade, “fatias” dessa superfície em diferentes alturas (valores de
).
Resposta
Então, comparando os dois esboços, o mapa de contorno mostra como as elipses se expandem conforme aumentamos
, representando diferentes níveis de altura na parábola tridimensional. O gráfico da função nos dá uma visão completa dessa expansão em três dimensões, onde cada elipse no mapa de contorno corresponde a uma seção horizontal da parábola.
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Descreva as superfícies de nível da função.
Determine e esboce o domínio da função.