Faça um esboço dos seguintes planos:
(a)
(b)
© .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer um esboço de três planos diferentes no espaço tridimensional. Isso envolve conceitos de geometria no 3D, como identificar interceptos com os eixos e entender como os planos se posicionam no espaço. Para resolver, vamos precisar das equações dos planos e saber como encontrar pontos que eles interceptam nos eixos x, y e z.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro plano: .
Primeiro, vamos encontrar os interceptos desse plano com os eixos x e y.
  • Intercepto com o eixo x: Para isso, a gente coloca na equação.
    Então, o intercepto no eixo x é .
  • Intercepto com o eixo y: Agora, colocamos .
    Assim, o intercepto no eixo y é .
Como a equação não tem o termo z, isso significa que o plano é paralelo ao eixo z. Ou seja, ele se estende indefinidamente ao longo do eixo z.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo plano: .
Aqui, a gente observa que só tem o termo z na equação, então os valores de x e y podem ser qualquer coisa. Isso indica que o plano é paralelo ao plano xy.
Para encontrar a posição desse plano, resolvemos para z:
Então, esse plano está localizado a uma altura de unidades acima do plano xy.

Passo 4

Finalmente, vamos analisar o terceiro plano: .
Similar ao primeiro plano, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo y: Já que a equação só tem o termo y, podemos resolver diretamente:
    Então, o intercepto no eixo y é .
Como não temos os termos x e z, isso significa que o plano é paralelo aos eixos x e z. Ele se estende indefinidamente ao longo desses eixos.

Resposta

Prontinho! Esboçamos os três planos no espaço 3D:
  • Plano (a): é paralelo ao eixo z, interceptando o eixo x em e o eixo y em .
  • Plano (b): é paralelo ao plano xy, situado a unidades acima dele.
  • Plano ©: é paralelo aos eixos x e z, interceptando o eixo y em .
Com essas informações, dá para desenhar cada plano no espaço tridimensional, identificando suas posições e orientações relativas aos eixos.

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Dados e , determine:
Onde a reta intersecta o cilindro definido por ?
Dados e , determine:
Dados e , determine: