Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
h)
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para fazermos um esboço das superfícies de nível da função
para os valores
. Isso está relacionado ao estudo de superfícies em cálculo multivariável, onde investigamos como a função se comporta em diferentes “níveis”.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível para uma função de três variáveis
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Basicamente, é como a função “corta” o espaço para um valor específico de
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Queremos encontrar as superfícies de nível para
. Isso significa que vamos resolver as equações:
para cada valor de
.
Passo 4
Vamos começar com
:
Isso acontece quando
ou
. Portanto, a superfície de nível
é a união dos planos
e
, estendendo-se ao longo do eixo
.
Passo 5
Agora, para
:
Essa é uma hipérbole no plano
, mas como não há dependência de
na equação, a superfície de nível
é uma hipérbole que se estende em toda a direção do eixo
. Isso forma o que chamamos de cilindro hiperbólico.
Passo 6
Por fim, para
:
De maneira semelhante ao caso anterior, essa é outra hipérbole no plano
, e a superfície de nível
também é um cilindro hiperbólico que se estende ao longo do eixo
.
Resposta
As superfícies de nível da função
são:
- Para
: os planos e , estendidos ao longo de . - Para
e : cilindros hiperbólicos e , respectivamente, que se estendem na direção do eixo .