Faça um esboço das superfícies de nível das funções abaixo nos níveis indicados.
h) f(x, y, z) = x * y, c = 0, 1, 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para fazermos um esboço das superfícies de nível da função para os valores . Isso está relacionado ao estudo de superfícies em cálculo multivariável, onde investigamos como a função se comporta em diferentes “níveis”.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível para uma função de três variáveis é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Basicamente, é como a função “corta” o espaço para um valor específico de .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Queremos encontrar as superfícies de nível para . Isso significa que vamos resolver as equações:
para cada valor de .

Passo 4

Vamos começar com :
Isso acontece quando ou . Portanto, a superfície de nível é a união dos planos e , estendendo-se ao longo do eixo .

Passo 5

Agora, para :
Essa é uma hipérbole no plano , mas como não há dependência de na equação, a superfície de nível é uma hipérbole que se estende em toda a direção do eixo . Isso forma o que chamamos de cilindro hiperbólico.

Passo 6

Por fim, para :
De maneira semelhante ao caso anterior, essa é outra hipérbole no plano , e a superfície de nível também é um cilindro hiperbólico que se estende ao longo do eixo .

Resposta

As superfícies de nível da função são:
  • Para : os planos e , estendidos ao longo de .
  • Para e : cilindros hiperbólicos e , respectivamente, que se estendem na direção do eixo .

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