Faça o escalonamento das matrizes abaixo:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para escalonar a matriz . Isso significa que vamos colocar essa matriz em uma forma chamada forma escalonada, que facilita resolver sistemas de equações ou encontrar determinantes. Para isso, vamos usar operações de linha, que são basicamente trocar, multiplicar ou adicionar linhas umas às outras. Vamos precisar conhecer essas operações e como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira coluna e garantir que o primeiro elemento (chamado de pivô) seja 1. No nosso caso, já temos um 1 na posição , então ótimo! Isso facilita as coisas.

Passo 3

Agora, queremos zerar todos os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna. Isso significa transformar os números abaixo do 1 na primeira coluna em 0s. Para isso, vamos fazer as seguintes operações:
  • Subtrair 5 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtrair 6 vezes a primeira linha da terceira linha.
Vamos fazer isso:
Para a segunda linha:
Para a terceira linha:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Seguimos para a segunda coluna. Queremos que o elemento seja 1. Atualmente, temos -4. Então, vamos multiplicar a segunda linha por :
Nossa matriz agora:

Passo 5

Agora, vamos zerar os elementos abaixo e acima do pivô na segunda coluna. Primeiro, vamos zerar abaixo:
Para a terceira linha:
Agora, zerar acima do pivô na segunda coluna.
Para a primeira linha:
A matriz fica assim:

Passo 6

Por último, vamos trabalhar com a terceira coluna. Olhamos para , que atualmente é 0. Isso significa que não podemos normalizar esse pivô, mas podemos organizar a matriz para que fique na forma escalonada.
Vamos trocar a terceira linha com uma linha que tenha um pivô diferente de zero, se possível. Porém, neste caso, a terceira linha já está na melhor forma possível.

Resposta

A forma escalonada da matriz é:

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Prove que .
Seja . Encontre . Justifique.
Prove que
(i) .
(ii) .
Prove que . e . Calcule:
(a) o volume do paralelepípedo ;
(b) o volume do tetraedro .