Prove que
(i) .
(ii) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar duas desigualdades envolvendo vetores e seus produtos. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Vetorial, especificamente ao produto vetorial entre vetores. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades do produto vetorial e como calcular as normas (ou módulos) dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto vetorial entre dois vetores u e v. O produto vetorial, representado por uv, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A norma desse produto vetorial, ||uv||, é igual ao produto das normas de u e v multiplicado pelo seno do ângulo entre eles:
Onde θ é o ângulo entre u e v.

Passo 3

Agora, vamos provar a primeira parte da questão:
(i) .
Substituindo a expressão da norma do produto vetorial na desigualdade, temos:
Explicando cada parte:
  • Elevamos ao quadrado ambos os lados para facilitar a comparação.
  • Sabemos que para qualquer ângulo θ.
Então:
Isso confirma que a desigualdade é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte:
(ii) .
Usando novamente a expressão da norma do produto vetorial:
Queremos que:
Comparando as duas expressões, vemos que isso acontece quando:
O que ocorre quando θ = 90°, ou seja, quando os vetores são perpendiculares (uv).

Resposta

Prova concluída! Demonstramos que:
(i) .
(ii) se e somente se u for perpendicular a v (uv).

Exercícios relacionados

Faça o escalonamento das matrizes abaixo:
(a)
Prove que .
Prove que . e . Calcule:
(a) o volume do paralelepípedo ;
(b) o volume do tetraedro .
Faça o escalonamento das matrizes abaixo:
(b)