Prove que
(i) |u wed>= v|^2 <=|u|^2|v|^2.
(ii) |u wed>= v|=|u||v| Leftrightarrow u perp v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar duas desigualdades envolvendo vetores e seus produtos. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Vetorial, especificamente ao produto vetorial entre vetores. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades do produto vetorial e como calcular as normas (ou módulos) dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto vetorial entre dois vetores u e v. O produto vetorial, representado por uv, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A norma desse produto vetorial, ||uv||, é igual ao produto das normas de u e v multiplicado pelo seno do ângulo entre eles:
|u wed>= v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta)
Onde θ é o ângulo entre u e v.

Passo 3

Agora, vamos provar a primeira parte da questão:
(i) (|u| cdot |v| cdot sin(theta))^2 <= |u|^2 cdot |v|^2 .
Substituindo a expressão da norma do produto vetorial na desigualdade, temos:
|u|^2 cdot |v|^2 cdot sin^2(theta) <= |u|^2 cdot |v|^2
Explicando cada parte:
  • Elevamos ao quadrado ambos os lados para facilitar a comparação.
  • Sabemos que para qualquer ângulo θ.
Então:
Isso confirma que a desigualdade é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte:
(ii) |u wed>= v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta) .
Usando novamente a expressão da norma do produto vetorial:
|u wed>= v| = |u| cdot |v|
Queremos que:
sin(theta) = 1
Comparando as duas expressões, vemos que isso acontece quando:
O que ocorre quando θ = 90°, ou seja, quando os vetores são perpendiculares (uv).

Resposta

Prova concluída! Demonstramos que:
(i) .
(ii) se e somente se u for perpendicular a v (uv).

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