Prove que
(i)
.
(ii)
.
(i)
(ii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar duas desigualdades envolvendo vetores e seus produtos. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Vetorial, especificamente ao produto vetorial entre vetores. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades do produto vetorial e como calcular as normas (ou módulos) dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o produto vetorial entre dois vetores u e v. O produto vetorial, representado por u ∧ v, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A norma desse produto vetorial, ||u ∧ v||, é igual ao produto das normas de u e v multiplicado pelo seno do ângulo entre eles:
Onde θ é o ângulo entre u e v.
Passo 3
Agora, vamos provar a primeira parte da questão:
(i)
.
Substituindo a expressão da norma do produto vetorial na desigualdade, temos:
Explicando cada parte:
- Elevamos ao quadrado ambos os lados para facilitar a comparação.
- Sabemos que
para qualquer ângulo θ.
Então:
Isso confirma que a desigualdade é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
(ii)
.
Usando novamente a expressão da norma do produto vetorial:
Queremos que:
Comparando as duas expressões, vemos que isso acontece quando:
O que ocorre quando θ = 90°, ou seja, quando os vetores são perpendiculares (u ⊥ v).
Resposta
Prova concluída! Demonstramos que:
(i)
.
(ii)
se e somente se u for perpendicular a v (u ⊥ v).