Faça o estudo completo das seguintes funções:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede. Precisamos fazer o estudo completo da função
. Isso significa que vamos analisar vários aspectos dessa função, como domínio, zeros, comportamento crescente ou decrescente, pontos de máximo e mínimo, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de derivadas e análise de funções polinomiais.
Passo 2
Domínio da função: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como
é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Portanto, o domínio é:
Passo 3
Zeros da função: Os zeros são os valores de
que tornam
. Para encontrar os zeros:
Portanto, a função possui um zero em
.
Passo 4
Comportamento crescente e decrescente: Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, calculamos a primeira derivada
:
Analisando o sinal de
:
-
para todo . -
apenas em .
Portanto, a função é crescente em todo o seu domínio, já que a derivada é sempre não negativa e nunca negativa exceto em um ponto.
Passo 5
Pontos de máximo e mínimo: Pontos de máximo ou mínimo ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe. Aqui,
apenas em
.
Analisando a segunda derivada para determinar a natureza do ponto:
Em
:
Como a segunda derivada também é zero, não podemos concluir se é máximo ou mínimo. Porém, observando o comportamento da função, vemos que
é um ponto de inflexão.
Passo 6
Concavidade e pontos de inflexão: A concavidade da função é determinada pela segunda derivada
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Encontramos um ponto de inflexão onde
, ou seja, em
.
Portanto:
- Para
: → concavidade para cima. - Para
: → concavidade para baixo.
Passo 7
Comportamento para
tendendo a
e
:
- Quando
, . - Quando
, .
Assíntotas: Como a função é um polinômio de grau 3, não possui assíntotas horizontais ou verticais.
Passo 8
Esboço do gráfico: Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico da função
:
- Passa pelo ponto (1, 0).
- É crescente em todo o domínio.
- Possui um ponto de inflexão em
. - Concavidade muda de para baixo para para cima em
. - O gráfico se estende para
e conforme aumenta ou diminui.
Resposta
A função
possui domínio em todos os números reais, tem um zero em
, é crescente em todo o domínio, possui um ponto de inflexão em
, muda a concavidade nesse ponto e não possui assíntotas. O gráfico é uma curva crescente que passa por (1,0) e se estende para
e
.
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, sendo
Verifique se
é contínua e derivável no ponto
.