Faça o estudo completo das seguintes funções:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede. Precisamos fazer o estudo completo da função . Isso significa que vamos analisar vários aspectos dessa função, como domínio, zeros, comportamento crescente ou decrescente, pontos de máximo e mínimo, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de derivadas e análise de funções polinomiais.

Passo 2

Domínio da função: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Portanto, o domínio é:

Passo 3

Zeros da função: Os zeros são os valores de que tornam . Para encontrar os zeros:
Portanto, a função possui um zero em .

Passo 4

Comportamento crescente e decrescente: Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, calculamos a primeira derivada :
Analisando o sinal de :
  • para todo .
  • apenas em .
Portanto, a função é crescente em todo o seu domínio, já que a derivada é sempre não negativa e nunca negativa exceto em um ponto.

Passo 5

Pontos de máximo e mínimo: Pontos de máximo ou mínimo ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe. Aqui, apenas em .
Analisando a segunda derivada para determinar a natureza do ponto:
Em :
Como a segunda derivada também é zero, não podemos concluir se é máximo ou mínimo. Porém, observando o comportamento da função, vemos que é um ponto de inflexão.

Passo 6

Concavidade e pontos de inflexão: A concavidade da função é determinada pela segunda derivada :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Encontramos um ponto de inflexão onde , ou seja, em .
Portanto:
  • Para : → concavidade para cima.
  • Para : → concavidade para baixo.

Passo 7

Comportamento para tendendo a e :
  • Quando , .
  • Quando , .
Assíntotas: Como a função é um polinômio de grau 3, não possui assíntotas horizontais ou verticais.

Passo 8

Esboço do gráfico: Com todas as informações anteriores, podemos esboçar o gráfico da função :
  • Passa pelo ponto (1, 0).
  • É crescente em todo o domínio.
  • Possui um ponto de inflexão em .
  • Concavidade muda de para baixo para para cima em .
  • O gráfico se estende para e conforme aumenta ou diminui.

Resposta

A função possui domínio em todos os números reais, tem um zero em , é crescente em todo o domínio, possui um ponto de inflexão em , muda a concavidade nesse ponto e não possui assíntotas. O gráfico é uma curva crescente que passa por (1,0) e se estende para e .

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