Verifique se f(x) = { x^2 se x <= 2, 2x - 4 se x > 2 } é contínua e derivável no ponto x0 = 2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a função que é definida por partes é contínua e derivável no ponto . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade, além de saber como calcular limites e derivadas de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função no ponto . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite à esquerda de 2, o limite à direita de 2 e o valor da função em 2 devem ser iguais.

Passo 3

Vamos calcular o limite à esquerda de 2, usando a parte da função quando :

Passo 4

Agora, calculamos o limite à direita de 2, usando a parte da função quando :

Passo 5

Observamos que o limite à esquerda é 4 e o limite à direita é 0. Como esses limites são diferentes, a função não é contínua no ponto .

Resposta

A função não é cont��nua no ponto , portanto, também não é derivável nesse ponto.

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